Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
x-o sin 5л; *-o sin 2x
17 Hm arctg7* 18 Hm arctg 2*' arcsin 3* 'sin 5*
a:-o 2* " лг-0 tg7* • arcsin 11л; • ig Ax
19. Hm51"*-005*. 20. Hm
_я 1 — tg л; *-0\3 — X]
29
*->0 X
21.1im(*±*Y. 22. Hm ^V+2.
23. lim fl-Af-4. 24. lun1"*1 + 10*».
25. lim '"(1-*). 26. lim х (In (х + 1) — In х).
27. lim—-. 28. Hm
sinx Х-+0 X
29. lim (1+**14-1. ЗО. Hm sin 3*' arctg 7x x^o X x-+o In (1 + 2x) • (езл" — 1)
31. Hm^-1. 32. limli+fcl x-*o In(I-2*) x-,0 e*x— 1
Вычислите приближенно:
33. {/ЦЙ. 34. 35. —. 36. —.
v v 1,03 0,98
37. In 1,05. 38. In 0,99. 39. 1,023. 40. 0,985.
§ 7. ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
I. Основные сведения из теории
1°. Закончите определение:
Производной функции у = f (х) в точке X0 называется число, ... . 2°. Заполните таблицу:
Правила дифференцирования
Формулы дифференцирования
1. (с)' = ... .
2. (je)' = ... .
3. (и(х)+V(X))' = ... .
1. (хпУ = ... .
2. (Vx)'= ... .
3. (sin х)' = ... .
8. (aresin x)r = ... .
9. (arccos л:)' = ... . 10. (arctg х)' = ... .
4. (CU(X))'=... .
5. (и (х) v(x)) = — •
4. (cos я)'= ... .
5. (tgя)'=... .
6. (cig X)'= ... .
И. (arcctgx)' = ... .
12. (ахУ= ... .
13. (е*)'= ... .
/ с \1
7' і7м J ='"' •
8- С/ (V(X)))' = ... .
7. (In х)'= ... .
14. (loga *)'=... .
3°. Закончите формулировку правила:
Производная сложной функции / (ф (х)) равна произведению ...:
30
4°. Функция у — f (х) задана в параметрической форме:
(X = X (t),
\У = У (t)
Укажите верные формулы: а)^ = І; б) ^ = I;
V d2y dt , d2y d
в) —- =--г) — = — (у);
; dx2 - > ' dx* dt Wh
dl у
Д)
dx2
d2y & \ X
II. Примеры и упражнения
1. Пользуясь определением, найдите производную функции = Зх2 + 2 в произвольной точке X. Решение.
1. Дадим независимой переменной х приращение Ах.
2. Наращенное значение у + Ay функции у (х): ... .
3. Приращение Ay функции у (х): ... .
4. Отношение приращения функции к приращению аргумента:
Ay =
5. у' = ... .
2. Найдите производные функций:
1) у = Зх2 + 2х + 5; 5) у = 20sin* —7cos* + 1;
2) у = -' 6) у = tgxctgx;
X2
3)У = 3*; 7) у=-
arccos л: 4) у = Ig2 Х\
3. Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, найдите производные функций:
1) у = 2ЪХ\ у' = 2ЪХ - In 2 - (5х)' =
2) у = In (х2 — Зх);
3) у = sin (Зх + 2);
4) у = sin2 6х.
4. Вычислите у' (х), предварительно прологарифмировав функции:
Решение.
1. а) In у = 51n(* + 2) + ^ln* — 101п(*2 + 3);
а\ У' 5,1 10 • 2х V ,
б) — =------; в) у' = ... ,
у х+2 Ux *2+ 3' 1 у
5. Найдите а) —; б) — для функций, заданных параметрически: dx dx2
-t
1) Г X = a cos t, 2) (х = е
{ у = & sin ІУ = е3'-
Решение.
1. а)^ = І; у=*' = X= ** = ^ ' dx % dt dt 1 dx
d (dy
d2y _ dt \dx) e d /dy^_ . d2y
rf^2 dx df Vd*/ d*2
dt
6. Используя формулу дифференцирования сложной функции, найдите а) у' (х)\ б) у" (*) для неявно заданных функций:
X
1) ctg у = І-; 3) In у + еу = 10;
2) уе» = ехК, 4) cos2 X + sin (у2) = 7. Решение.
1. a) (ctgy);=K; ^ = IZ^1. /=... .
7. Найдите производные а) г' (t)\ б) г" (*) от вектор-функции г = г (J) скалярного аргумента t:
1) Г(0 = Pl + cos2 / f— (P — I)A;
2) Г(0 = In (/2 + 1) T+ е~< Г— ctg * • k;
3) Г(0 = cos2 t ¦ 1 — sin Ы • jf + \ • ft. Решение.
1. a) ?(0=|(F)7+|(cos?)7-|(*»-l)ft = ... .
111. Упражнения для самостоятельного решения
Найдите производные следующих функций (для функций, заданных параметрически, найдите и первую, и вторую производные):
1. у (*)«=—. 2. у(х) = 1пл> lg*.
3. у (х) = ¦^a + &*2. 4. у (*) = + 5cos3*.
5. у (*) = y^sin2 *. 6. У (*) S=! In cos *.
32
7. у(х)=х^х. 8. у = (1+1)*.
9. , cos'f 10. / v_ і'
l/cos 2/ ' у =. sin8'
t + 1
V^cos 2t' I ' ^ + 1
11. frx* + Vf = V^\ 12. ху = у* і
5/--TT
13. г (t) = ]/> . і + є* . / + In (6* + arctg /2) ft.
14. 7(f) = et2 . 7+ cos2 /Г- 7+ З2' • ft.
15. г (*) = sin t2 • і + cos (tg t) • / + aresin J/Г"- ft.
16. у (X) = In (X + Vx2 — 3). 17. y_(jc) = ^(cos л: + tg je). 18. у (X) = In In x. 19. у (%) = ecosVx .
20. у (jc) = cos (log5 X) — tg (In x) ^
garcsin Vx~
21. у (x) = In3 arccos ]/"^ 22. у (x) = (%2 + l)3*. 23. у (x) = arcctg ]/"tg2 * + 10. 24. у (jc) = jc*\ 25. у (je) = ctg In X2 - tg (2 In je).
§ 8. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ I. Основные сведения из теории
1°. Закончите определения:
1. Функция у = f (х) называется возрастающей на промежутке ]а; Ь[, если для любых X11 X2 ? ]а; Ь[ из неравенства X1 < Jc2 следует неравенство f (X1) ... / (*2).
2. Функция У = f (х) называется убывающей на промежутке ]а; Ь[, если ... .
3. Точка X0 называется точкой минимума (min) функции у = / (я), если (Vx) (х ? Ud (*o)=> / M ... / (*о)).
Число / (х0) называется ... .
