Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
6. Составьте каноническое уравнение гиперболы, если: а) 2с =
= 10, 2Ъ = 8; б) 2с = 10, 8 = -^-; в) уравнения асимптот у = ± ^-х, а расстояние между вершинами равно 48; г) расстояние между ди-
ректрисами равно —, а 8 = —; д) уравнение директрис х = =Ь—, 3 2 3
а точка M ^—3; —^j принадлежит гиперболе.
7. Определите, при каких т прямая у = х + т: а) пересекает
X2 У2
гиперболу--— = 1; б) касается ее; в) не имеет общих точек с
гиперболой.
8. Составьте каноническое уравнение параболы, зная, что: а) парабола симметрична относительно оси Ох, расположена в левой полуплоскости, а ее параметр р = 2; б) парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку С (1; 1); в) фокус параболы F (—7; 0), а уравнение директрисы х — 7 = 0.
9. Из фокуса параболы у2 = 12х под острым углом а к оси Ox
з
направлен луч света. Известно, что tg а = —. Дойдя до параболы,
4
луч от нее отразился. Составьте уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.
10. Определите, какие линии заданы следующими уравнениями в полярных координатах:
ч 15 ал 16 a) P =-:-; б) р =--;
1 1 — COS ф 1 — — COS ф
2 Y
в) P=---; г) р
3 2 — cos ф
1 — — cos ф
2
д) р = "—¦-; е) р
3 — 4 cos ф ж) р = 4; з) р
1
3 — 4 cos ф 3 — 3 cos ф
1
3 — 0 cos ф
11
§ 3. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА I. Основные сведения из теории
1°. Какие из нижеперечисленных величин являются векторными: а) объем; б) скорость; в) давление; г) ускорение; д) плотность; е) масса; ж) сила; з) температура; и) потенциал?
2°. Закончите определения:
1. Вектором называется ... .
2. Скаляром называется ... .
3. Длиной вектора AB называется ... .
3°. Закончите предложения: —>-
1. Запись а = {х\ у; г) означает, что числа х, у, z являются ... .
2. Если даны две точки А (хъ уь Z1) и В (х2і у г, Z2), то координаты вектора AB определяются следующим образом: AB = {...}.
3. Модуль вектора а = {х; у; г} определяется по формуле \ а\ = ....
4. Если даны вектор а = {х\ у; г) и координатный базис і, /,
то вектор а может быть разложен по базису: а = ... .
4°. Закончите определения линейных операций над векторами:
1. Суммой двух векторов а и Ь называется вектор а + Ъ ... .
-> ->
2. Разностью двух векторов а и Ъ является вектор а — Ъ ... .
->
3. Произведением вектора а на число а называется вектор ... .
5°. Закончите определения скалярного произведения двух век-—*> -> торов а и Ъ:
X) а Л = |а| . \Ь\ ... ;
2) а • 6 = |а| • Пр. ... = . Пр.....
6°. Продолжите формулировку основных свойств скалярного произведения:
1) а • b = Ь • ... ;
2) а • (Xb) = Xa- ... ;
3) а (b + с) = ... ;
4) (а 1 о) (а ¦ b) = ... ;
5) (а И 6) => (а • 6) = ... ;
6) а2 = ... .
7°. Закончите определение:
Векторным произведением двух векторов а и b называется вектор имеющий направление ... и численно равный ... .
8°. Изобразите вектор а х Ь (рис. И).
9°. Продолжите формулировку основных свойств векторного про-
—> —>¦
изведения двух векторов а и Ь\ X) а X b = ... ;
12
Рис. 11 Рис. 12
2) а X X ft = ... ;
3) ах О = ... ; 4)ах(Нс] = ... ;
5) (а 1 Ь)=> \а X &| = ... ;
6) (а 11?=* (а X 6) = ... . 10°. Закончите определение:
Смешанным произведением трех векторов а, Ъ и с называется число, равное векторному произведению а х Ь, умноженному ... на вектор с : ... .
11°. Используя рисунок 12, выпишите произведения, численно равные объему параллелепипеда, построенного на этих векторах-сомножителях: Ъас, bca, abc, acb, cba, cab.
12°. Закончите утверждение:
Пусть вектор а умножается векторно на вектор ft, а полученный
результат снова векторно умножается на вектор с. В итоге получается
двойное обозначаемое ... .
13°. Даны два равенства:
—>-+¦—>• —>¦—>¦-> —> —>- ->
а) а X (ft X с) = ft • (а • с) — с . (а • ft); -> ->->-> -> ->- ->
б) (а X ft) X с = ft • (а • с) — с - (а - Ь). Укажите верное.
14°. Пусть a = {^1; уг; Z1}, Ь = {х2\ у2\ Z2}, ~с = {х3\ у3; Z3}. Заполните таблицу по указанному образцу:
a ztb
{^1 ± *2; yt zh у2; Z1 zh Z2}
а • 6
а . (?х с)
а X (?Х с)
13
Рис. 13
Рис. 16
IL Примеры и упражнения
1. Выразите вектор AC через а и с (рис. 13).
-> -> —>-—>-
2. Выразите векторы U1 и d2 через а и o (рис. 14).
3. В правильном шестиугольнике (рис. 15) выразите через векторы р и q:
а) ВС, CD, DB, EF;
б) AB + BC + CD + DE + EF + FA;
в) OA+ OB + 0~C + OD + OE + OF.
—у —>
4. Докажите (рис. 16), что rM = —~> зная, что M—центр
тяжести однородного стержня. Доказательство.
Достраиваем параллелограмм на векторах гА и гв, тогда ... .
5. Докажите (рис. 17), что гм = Гл + г? +гс ? зная, что M—
3
центр тяжести однородной пластины ABC. Доказательство: Запишем последовательно:
AB = ЛС = AE = АВ + АС = ЛЛ1 = —Д? = ,
2 3
'лі = -
І4
