Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Егерев В.К. -> "Задачник практикум по математическому анализу" -> 15

Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.

Егерев В.К. , Несененко Г.А., Козлова В.А., Диканова З.А., Корсакова О.С. Задачник практикум по математическому анализу. Под редакцией Егерева В.К. — М.: Просвещение, 1981. — 87 c.
Скачать (прямая ссылка): zadprmavk1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 29 >> Следующая

Зд;2+ 2л: —5 A1B1C =--1---1--•

(jc+ I)(jc-I)(jc-2) 3. Методом подстановки найдем неопределенные коэффициенты

46

A1 В и С: Зх2 + 2х - 5 = А (х - 1) (х - 2) + В (х + 1) (* - 2) + + С(х-1)(х+ 1).

а) X = 2 =>- б) л: = 1 =ф- в) л: = — 1 ... .

(Чем руководствовались, полагая последовательно х = 2, # = 1,

X = —1?)

4. Искомый интеграл

Зх2 + 2х — 5

¦>dx =

(*+!)(*_ 1)(*_2)

5. Проинтегрируйте рациональную дробь, знаменатель которой разлагается лишь на множители первой степени, среди которых имеются повторяющиеся:

г x*dx__

J + 2)» — 1) в

Решение.

1. Выясним, является ли подынтегральная дробь правильной рациональной дробью. Если нет, то выделим ее целую часть... .

2. Запишем правильную часть подынтегральной дроби в виде суммы простейших дробей:

* =... +. -

(X+ 2)« (х-1) (х + 2)2(*-1)

= ... + -^- + _*_ + -^-.

X + 2 '(je + 2)2 je—1

3. Найдем неопределенные коэффициенты Л, В и С методом приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х: ... .

4. Искомый интеграл

х* dx

і-

(*+ 2)2 (X-I)

6. Проинтегрируйте правильную рациональную дробь, знаменатель которой разлагается лишь на неповторяющиеся множители второй степени с отрицательными дискриминантами и, возможно, на множители первой степени:

(2x—l)dx

(х*+х + 2)

Решение.

1. Запишем правильную подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей:

2x—l A Mx+ N

{х2 + х + 2)(х-\)~ ... + ...

2. Найдем неопределенные коэффициенты Л, M и N путем комбинирования метода подстановки (полагая х = 1) и метода приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях х:

2х — 1 = Л (х2 + X + 2) + (Mx + N) (х — 1), X ==; 1 ... .

47

3. Искомый интеграл

(2х— 1) dx

(х2 + х+2) (х-1)

7. Проинтегрируйте правильную рациональную дробь, знаменатель которой разлагается на множители второй степени, имеющие отрицательные дискриминанты, среди которых есть повторяющиеся множители:

хъ dx (X2+ I)2'

Решение.

1. Запишем правильную подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей:

1 _ M1X + N1 М2х+ N2 (х2 + I)2 ~~ ...

2. Найдем неопределенные коэффициенты M1, M2, N1, N2: ... .

3. Искомый интеграл

хъ dx

+ I)2

8. Используя правило нахождения интегралов вида $R (х, хп ,...,

г

.., xs)dx, вычислите интегралы:

1)

2)

dx

dx

V~x + з У X

X +Зх

TEL-dx= \ -^—dx =

I +X

і = X ; dx = ...

t = хА ; dx = ...

9. Используя правило нахождения интегралов вида

т г

J \ ' \сх + d) 7 '"' \—~d) ) вычислите интегралы:

1) Г y7"r't d* = ||3* + 4=<»; <fc- ... П = ... ; J 1 + /Зх + 4

2> l'^rLdx = \\\ +* = *8; -11= - •

/Зх + 4

48

III. Упражнения для самостоятельного решения

Вычислите интегралы:

1. С *2 + 5' + 6 dx. 2. Г ^5-^ + 4 dx. J (* + 2)(*+3) J X3 + 2*2 + Зх + 6

3. ^~6xa + l2x2+6dx. 4. Г dx . 5. f-f^L. j л:3 - 6?2 + 12* — 8 j (3 — 5х)3 j х3 — 1

6. f-. 7. Г-*-. 8. f-*-.

J хЦх + lf J (х* H- 4) (je — 1) J(JC*+ 3)(** —4*+ 13)

9 Г 3xdx 10 Г_^_ Г yTdy

' J (x» + 2* + 2)» ' * J (X3 + 8)2' ""Jx+r

,2. f J^I=^dx. ,з. (Vj^d*. 14. Г/^ + ^Г + І^

J 4/^+8 JK l+x

15. Г1-,^37 d«.

§ 13. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

I. Основные сведения из теории

1°. Заполните таблицу простейших тригонометрических подста^ новок:

Интеграл
Подстановка


j* R (sin х) cos X dx = ... . * = ....
A = ... .

J /? (cos х) sin я cfc = ... .
t = ... .
A = ... .

^R (cos*, sin x) dx = .... cosx = ... , sin* = ... .

dt = ... .

2°. Закончите формулировку правил:

1. Если п — четное число (п = 2k), то вычисление интегралов вида jcos" X dx, jsin? х dx осуществляется с использованием формул тригонометрии:

. cos 2х о -, cos X =

49

2. Если тип — четные неотрицательные числа, то вычисление интегралов вида §s'mmxcosnxdx осуществляется... .

3. Интегралы вида j smmx cos/zxdx, J sinmxsinnxdx и J cosmx cosnxdx вычисляются при помощи следующих тригонометрических равенств:

sin тх cos пх = Y (sin (т + п)х + sin (т — п) х); sin тх sin пх (cos (m — я) х — cos (т + п) х)\ cos тх cos = — (cos (т — п) х + cos (m + я) х).

11. Примеры к упражнениям

1. Используя табличные интегралы и вводя надлежащие замены, вычислите интегралы:

1) J sin3 xdx = —J sin2 xd (cos x) = —J (1 — cos2 x) d cos x =* ...,

2) J cos3 xdx = ... .

2. Найдите интегралы:

1 \ Г sin3 л: J cos X —

2) f^dx=.

dx =

cosx = ^, X = ... sin X = dx = ..

3. Используя универсальную подстановку tg — = t, найдите

интегралы:

J sin а:

2) f-^- =

J COS X

smx

2*

dx =

1 +/2

2d/ 1 +*2

dx

л

d\x+~

sin

[x+f) Jsin(*+t)

.J 5 + 4 sin jc

sm X =

2/

dx =

2d/

1 +/2

5 -)- sin a; + 3 cos x

1 +/2

5)f—:

J sin**

50

4. Используя тригонометричес-

1_cos 2 х п ~ ~ —
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 29 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed