Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
4°. Закончите запись формулы интегрирования по частям: \и (х) dv (х) = ... .
II. Примеры и упражнения
1. Используя правило 3°, вычислите интегралы: 1) f-xr; 5) Г '/(arcsin,)^ d
J X + k ' J у\_ Х2
X + k
2) J cos (foe) dx;
3) \akxdx;
4) f_-*_;
' J cos2 (fee)
6) \ —-— dx\ J (* + D2
7) j*(3 + 2;c)4dx.
2. Найдите неопределенные интегралы: Чп2*
"И
-dx:
2) fax;
3) Jx 5?
4) Jtgxdx;
5) J ctgxdx;
f xdx 7) jSiO(IMdjc.
9)1
10) Je
cos2 л;2' cos xesin
40
3. Вычислите интегралы, пользуясь указанной подстановкой:
1) J^2 + x*dx _- x = a\gt
2) \ г Х dx = X — 2 sin ^ ...;
a, Г.
d*;
2
= —In^ ... .
ех+1
4. Используя интегрирование по частям, найдите неопределенные
интегралы: _
1) Jx sin X dx; 2) Jx2 sin х dx; 3) \ех sin х dx; 4) J ]/ а2 — х2 dx;
5) $Va? + x2dx; 6) J |/ х2 — a2 dx; 7) Jlnxdx; 8) J arctg xdx;
9) J aresin X dx; 10) Jarccosxdx.
Решение.
/JF Jf fl^-jt2 Jf a2-*2 J /a2 —x2
III. Упражнения для самостоятельного решения
Вычислите интегралы:
dx о Г у г л С dx
1. |(5 + 7x)17dx. 2. Г dx . 3. fcosjxfexdx. 4. Г —
5. f 6. f-^-dx. 7. f-**L. 8. f * . 9 f-^.
J ]A 1-^ J 1 — ^ JcOS2A;2 J a;2 —4л:+ 4 J / x
10. fsin(tgx)—. 11. f^=^dx. 12. f^gj^_. 13. ГXarctgXdx. J VS cos2a; J * + l J/l+sin2A; J S
14. fxarcsinxdx. 15. fx2lnxdx. 16. f3*cosxdx. 17. Г-—-.
J J J J X In X In (In x)
§ И. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
I. Основные сведения из теории Закончите формулировку правил:
dx
ах2 + bx + с dt
+ k2
1°. Для того чтобы вычисление интеграла вида Z1 = J
привести к вычислению одного из табличных интегралов вида — Г—
oj*2.
или — \-, необходимо предварительно преобразовать квадратный
a J і2 — k2
хчлен, стоящий в знаменателе, выделив из него полный
+ Ъх + с = а (х2 X + — \ = а затем сделать \ о, а)
трехчлен, стоящий в знаменателе, выделив из него полный квадрат: ах2 + Ъх + с = а [х2 х + ^\ = а затем сделать замену переменной, положив ... .
fAx + B 0 ' ,-;-dX СВЄСТИ ax2 + bx+c л f 2ax + b і f
к вычислению суммы интегралов вида а \ ——- ^ и їх -
необходимо провести следующие тождественные преобразования подынтегральной функции:
А
— (2ах + Ь) Ах + В = 2а ^ }
ал;2-|-6л; + с ах2 + Ьх + с
Это позволяет искомый неопределенный интеграл I2 представить в виде
L =; К Г-----+ |х f---dx = I{\] + I
2 J ах2 + bx + с r J ах2 + bx + с
Вычисление интеграла /(22) производится с помощью формулы, указанной в п. 1°, а чтобы вычислить интеграл /^1 надо сделать замену переменной, положив ах2 + bx + с = ... . Поэтому можно записать
/«5».Af ^-dx.±\....
2а J ах2+Ьх + с 2а J
Возвращаясь к интегралу I2, окончательно получаем: Z2= f М + В dx = fl + lf= ... .
2 J ах2+ bx + c
С dx
3°. Для того чтобы интеграл вида /3 =\-^=^ свести (в за-
висимости от знака числа а) к вычислению одного из табличных инте-
C dl р dt
гралов вида J у ^ ^ fe2 • или J у fe2 > поступают так же, как и
в случае полагая
ах2 + bx + с = а [х% + — х + — j = ...
и делая замену переменной: ... .В итоге получают: ... .
(* Ax -J- ?
4°. Для того чтобы интеграл вида L = \ —--dx свести к
JV ах2+Ьх +с л Г 2ax4-b С dx
вычислению суммы интегралов вида %\ г - и \\\ , - ,
v JVax2+bx+c rJVax2+bx+c
необходимо, как и в случае провести следующие тождественные преобразования подынтегральной функции:
Vах2 + bx + с Vax2 + bx + С
42
Это позволяет искомый интеграл /4 представить в виде
/4 = X Г + fr + ц Г ** = /(1) + /(2).
J ]^zx2 + ta+c rJ ]Лгх2 + &л;+с ^
Вычисление интеграла /(||) производится с помощью формулы, указанной в п. 3°, а для вычисления интеграла /4 надо сделать замену переменной, положив ах2 + bx + с = ... . В результате получаем
hi)
2а J l/flx2 + to + с 2а J
Возвращаясь к вычислению интеграла /4, окончательно получаем: /4 = Г * + * dx = /а) + 7(|) = ... .
J Vax2 + Ьх+с
II. Примеры и упражнения
1. Продолжите вычисление неопределенных интегралов:
С dx = 1 Г(* + а)-~(*-а)^_ . ' J х2-а3 2aJ (je+ а) (л: —а)
2) Г * =Г- '
; J х2 + 4х + 5 J (х-
6*+9 dx
;2 _ + 15
' + 2)2+1
(*-3)2 dx
(*-3)(*-5)
2. Продифференцировав обе части приведенного равенства, найдите Хи \х, затем вычислите интегралы:
3>I J-Io^ -^-¦»«+ »1 + ¦¦J
¦4х + 5 dx
-2 — Зх — 4
dx
X2— 10*+25
3. Закончите вычисление неопределенных интегралов, содержащих У ах2 + bx + с:
пГ_*_= Г & -= .
' J У х*-4х + 5 J^-2)41 dx Г» dx
Зх —4 1 і// 3\2_9_ 4 dx dx
T/-2+3X-2X* I |/2 + |_2^_lJ
43
(Зл: — 6) dx
J
3 (jc — 2) dx
6>J
л; dx
