Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
3. Число Уо является пределом функции у = / (х) при х, стремящемся к х0 слева, т. е. Hm f (х) = у0, если или
(V... >0)(Э ... >0) : (X € |/М-°у01 < «О-
5°. Сформулируйте основные теоремы о пределах:
1) Hm(Mx)H=M*))
2) Hm(Z1(X) . h(x)) = ... ;
3)*іГтМ^= ... .
х^а /2(а')
6°. Напишите равенство:
1) выражающее сущность первого замечательного предела;
25
2) определяющее трансцендентное число е.
HK
7°. Докажите, что lim H--= ek.
Х-+00 \ XJ
Доказательство.
lim [l +—Y= lim
Рис. 24
8°. Закончите определения:
то lim —
1. Функция а (х), имеющая своим пределом число 0, называется
2. Функция ? (х), имеющая своим пределом — оо или + 00, называется ... .
3. Две функции а (х) и у (х) называются эквивалентными (а (х) ~ ~ у (х)) бесконечно малыми, если ... .
9°. Закончите утверждение:
Если бесконечно малые а и (x1, ? и P1 попарно эквивалентны, lim ... .
х-*а ? х-уа
10°. Напишите «цепочку» эквивалентных бесконечно малых х —
/^•W sin X ^ ... ... ... ^ ... /^ ... .
11°. Закончите определение:
Функция у = f (х) называется непрерывной в точке х0, если или (V ... >0) (3 ... >0) : (X € ... |/ (х) — f (х0)\ ...) (рис. 24).
II. Примеры и упражнения
1. Вычислите Hm (2х + 1).
Х^2
Решение.
Элементарная функция у = 2х + I непрерывна в любой точке области определения, поэтому Hm (2х + 1) = 2 • ... + 1 = ... .
X2
2. Вычислите пределы, требующие раскрытия неопределенности
'0'
типа
1) Hm
10*— 11
-і
1
= Iiщ («-")(«+') = ... .
X—1 (* + I)(x-I)
Замечание. Сокращение на (х + 1) возможно, так как ...
з.
2) lim S*-1 =
х-*1
¦\Гх — t
3,—
У х = Р
^x= f х-*-U t-
1
= lim ...;
3) Hm Z-VS + x = ljm (з-У5 + х)(1+У5-х)(3+У5 + х) x^i 1-У 5^Tx X^t(I-у 5^~х){1+У Ь^х)(3+У ^fIc)
26
3. Вычислите пределы, требующие раскрытия неопределенности тила
1) Hm
2*2 — X + 7
lim-
2*2 х_ 7_
*->oo X3 — 8х + 1 *->оо ^ _8% 1
X3 X3
4*5 — Зх2 + 2 *-.«> л:3 + 7л;2 + 4
2) Hm
З*2 2 4-— +-і . *5 *° = Hm-
X-* со J[_ 7*2 4
.-9. I .г I г
*5
. 5*2 + Зх — 1
3) Hm -
х-+™ 1 — 2* + З*2 — 7*4
4) закончите обобщение:
|jm A0*" + U1X^1 + ... + Ад-!* + Q72 *+оо b0xm + O1*"*-1 + ... + Ьт^Х + Ьт
—, если
bo
О, если
оо, ЄСЛИ ... ,
4. Вычислите пределы, требующие применения первого замечательного предела:
sin Ъх
1) a) Hm
б) закончите обобщение: Hm-=
*-о Ьх
2) a) Hm
*-0 2*
б) закончите обобщение: lim^-^ = ...;
х->0 &*
arcs in 2*
3) a) Hm
*-0 Зх
aresin 2л: = t s'mt = 2х х->0; *->0
= Hm-
t
*->o sin ^ 3 2
arcs in a*
б) закончите обобщение: Hm
,. ч1. arctg3* 4y a) Hm —-— X-+о 5*
arctg 3x = t tgt = 3x x-+0: t-+0
= Hm-
t
3
б) закончите обобщение: Hm Qrctg g* =
2 sin2 —
-4 1; I — cos * r 2 5) urn-;— = Hm-
*-*0 #2 X-+0 X2
27
6) lim
sin X — sin 2
X-2 x — 2
5. Вычислите пределы, требующие применения второго замечательного предела:
/ О \ЗЛ'—5
1) а) lim 1 + - =
X J
г ? \тх+п
б) закончите обобщение: lim 1 -J-- =
2) umf?±2f-e,lm/i±
x-*оо \ X J
X + 3— 1 \2*-5
+ 3
3) Hm(I +у)"=*
1
У = -
л;
у-0
X -> OO
4) Hm!JLiLIiU = liml In(I + je) =
x-+О
5) Hm-
х-0 #
х-0 *
— 1 = у
6) HmUJ^ZLi
л:-0 *
1 + X = Є*
у->0
= Hm-
Hm
*-о el — 1 /-о а/
X
X
•'-1
а =
6. Вычислите пределы, используя теоремы и «цепочку» эквивалентных бесконечно малых:
1) lim-ln(1"~ Зх) 7х
х-о sin5*(e4Jr — 1) 2) ШІІ±*?=1-
x-+0
3) fo/1 + *-'
х-о arcsin 5* =
4) lim (cos 2л:) ^ == lim (1 — 2 sin2 л:) ^ = ...
x-+0
X-O
7. Напишите приближенные равенства для малых \х\% используя
28
вычисляемые в скобках пределы:
1) ]Л +X^... /так как lim V1+*-1.
*-0 X
~2
2) —— ~ eee I так Как Hm L^-= ... );
1 + л: \ #->о X J
3) In(I + je)«... ("так как limln(1+3g) = ..Л
\ *-0 X J
4) (1+*)*«...(так как Hm (1+*)*-1 =\
\ х-*0 ПХ J
п — натуральное число.
8. Используя полученные равенства, вычислите приближенно: а) УТЩ« б) « в) In 1,1 « г) 0,934 « ... .
111. Упражнения для самостоятельного решения
Вычислите:
1. Hm (6х2—I). 2. Hm х*~1
-1 *—і х2 — 2х — 3
0 ,. Xs — Зх+2 л v У~х— 1
3. Hm--—. 4. Hm '
і X*-Ax+ 2' " 7-і fyZ—l '
5. Hm ^1=1. 6. lim2-^~3.
*-64 ¦/Ic — А *-7 — 49
7. Hm KH^-/—^ 8_ Um 4,*-3, + 8 ^
х-о X x->oo 6%3 — 5%2 + 1
Л ,. 1 — 2д;2 + X3 1Л ,. 1— 7л;— 5л*
9. Hm--—. 10. Hm-.
A-'-co 4 — З* + X2 x-+oo У? + X2 + 1
П. Hm P-2*0+а*. ,2. Hm (1-3,)3(2,-1^
Ar-.,» (6л-2—l)2(l-x)* (1—д;)3(2А:+1)а
13. Hm и. lims-H^.
*-0 sin Па: #-o tgSx
1C .. tg3« <c і. arcsin Зл;
15. Hm ——. 16. Hm-.
