Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Егерев В.К. -> "Задачник практикум по математическому анализу" -> 12

Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.

Егерев В.К. , Несененко Г.А., Козлова В.А., Диканова З.А., Корсакова О.С. Задачник практикум по математическому анализу. Под редакцией Егерева В.К. — М.: Просвещение, 1981. — 87 c.
Скачать (прямая ссылка): zadprmavk1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 29 >> Следующая


2. Пусть функция у = f(x) определена на симметричном множестве X:

1) если выполнено соотношение f (х) = f (—x)t то функция у = = f (х) называется

2) если справедливо соотношение f (х) = —f (х), то функция у = / (х) называется

3) если же не выполнено ни одно из этих соотношений, то функция У (X) ... .

3. Пусть область определения функции у = f {х) вместе с каждым X содержит числа х+ I и х — /, где 1ф0 — некоторое число. Функция у «= / (х) называется периодической с периодом /, если справедливо соотношение: ... .

4. Пусть кривая задана уравнением у = / (я), х 6 [а; 6], причем f (х) существует, тогда:

1) если все точки кривой лежат ... любой ее касательной на этом

36

промежутке, то кривая называется выпуклой вверх на промежутке [а; Ь] или просто выпуклой;

2) если все точки кривой лежат ... любой ее касательной на этом промежутке, то кривая называется выпуклой вниз или вогнутой.

5. Точкой перегиба кривой, заданной уравнением у = / (х), называется точка с координатами отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой.

2°. Закончите формулировку достаточных условий выпуклости и вогнутости функции у = f (х):

1) если во всех точках промежутка [а\ Ь] f" (х) < 0, то кривая у = f (х) ... на [а; 6];

2) если во всех точках промежутка [а\ Ь] f" (х) > 0, то кривая у ^ fix) ... на [а; &].

3°. Закончите утверждение:

Если F (х0) ... или F (х0) ... и при переходе через значение х = X0 производная F' (*о) ••• знак, то точка M (х0\ f (х0)) — точка перегиба. 4°. Закончите определение:

Прямая AB называется асимптотой кривой L, если ... . 5°. Допишите формулы:

Пусть у = kx + Ь — асимптота графика функции у = f (х). Тогда параметры k и Ъ определяются по следующим формулам: a) k = Hm б) Ъ = Hm ... .

Х — оо X-OO

II. Примеры и упражнения

1. Укажите области определения функций;

j 4) у = aresin 2х\

2) У= уТ+з> 5) у - sin2х.

2. Найдите нули (корни) функций:

1) у = In(X-I)- 4) у = 2^;

2) у=х*-9х; 5)у=(1\-\

3) у =sin2x; > у \2J

3. Определите промежутки знакопостоянства функций: 1) у = X3 — 5х2 + 6х;

2)у = 1п^±Л 4)у = ^---

1-х' Xі — 9

3)y = sin-|; 5)y = ln|x|.

4. Укажите, какие из нижеприведенных функций являются: а) четными; б) нечетными:

„,_lnl±i; 8),-Л.(=х)«.^х);

9 _ д~Л' + а* . 4) у = *3 — 9х; ; У ~~ 2 ' 5) у = 1п|х|.

37

5. Найдите периоды функций:

1) у = ¦^3 sin ^2jc +-у

2) у = 25cos(| X + ^

3)y = 15tg(fo*-t.

6. Исследуйте поведение нижеприведенных функций у = / (х) в окрестности точек разрыва и на бесконечности. Сделайте схематические чертежи:

1. у = 2х .

Решение.

-0 + 0 0 — 0

При X при X -при X при ;

2-У = Решение.

-OO

у-

У-У-

У

X2 +X-

1

При X • при

при X -при X ¦

^2 + 0 -2 — 0

• +OO . -OO

(2 — х)2 1

(2—*)2

у-

У"

У У

7. Следуя схеме, приведенной в примере 3 § 8, найдите промежутки монотонности и точки экстремума нижеприведенных функций: б*2 — X4

1) у =

2) у — 1)еЗЛ+1.

8. Найдите промежутки выпуклости (вогнутости) и координаты точек перегиба нижеприведенных функций у = у (х) по схеме:

1) найдите у" (х)\

2) определите абсциссы точек, подозрительных на перегиб;

3) определите знаки у" (х) в достаточно малых окрестностях найденных точек и точек разрыва функции у = у (х)\

4) заполните таблицу:

38

Ly = (х — З)2 (2-х). 2. у =--.

9. Найдите асимптоты графиков функций:

- ч х2 + 2х — 40

1) У =

2) у

2x2 + 7(k — 100' 1 хъ

9 (х- I)2

10. Укажите множество значений функций: 1) и = aresin 2х; 4) у = 25 cos (— х---\\

3) у = 1п|х|; 5)у-(-^г

III. Упражнения для самостоятельного решения

Последовательно выполняя требования пунктов 1—10 предыдущего раздела, исследуйте нижеприведенные функции, а затем постройте их графики:

1. у = -(* — 2)2(* +4). 5. у =(2+*2)<Г*\

2. у =-. 6. у ==-.

X — 2 sin л: + cos *

3. у = ^Inj. 7. у = j/2x — х2 + 2.

4. у = X2 — е""*.

§ 10. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

I. Основные сведения из теории

1°. Закончите определения:

1. Функция F (х) называется первообразной функции f (х) на отрезке [a; ft], если Vx 6 [а; ft] справедливо равенство ... .

2. Если F (х) — первообразная f (х), то причем: а) выражение F (х) + С называется ... функции ... и б) обозначается символом ... .

39

2°. Заполните таблицу:

Правила интегрирования

Простейшие интегралы

1. (j{ (х) dx)'= ... .

2. d (Jf (X) dx) = ... .

3. ^dF(X) = ... .

± h(x))dx=..

5. J(Cf1(X))Ae=»... .

6. Jf (X) dx = F (x) + C:

(ax + b) dx= ... .

1. J xP-dx = ...(аф—\)

3. J> dx = ... .

4. J sin # d# = ... .

5. 6.

cos a: dx — ...

1 dx _ sin2 a:

Mr-

J cos2 л: C

J ]Л?^

J a2+*2 = ' J л;2 — а2 "

M

У X2+ а

3°. Закончите формулировку одного из важнейших правил интегрирования:

Пусть известно, что J/ (x)dx = F (х) + С. Тогда J/ (u)du = где и = ф (я). Например:

J = ^ + С J sin #d (sin #) == ... .
Предыдущая << 1 .. 6 7 8 9 10 11 < 12 > 13 14 15 16 17 18 .. 29 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed