Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
6. Тетраэдр задан своими вершинами: A1 (2; 3; 1), A2 (4; 1; —2), A3 (6; 3; 7), A4 (—5; —4; 8). Найдите:
1) величину угла между ребрами A1A2 и A1A4;
2) площадь грани A1A2A3;
3) проекцию A1A3 на A1Zl4;
4) объем тетраэдра. Решение.
1. а) Координаты векторов A1A2 = ... и A1A4
б) скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами: A1A2 • A1A4 = ... ;
в) ЙИ2| = ... и = - ;
г) косинус угла <р между ребрами A1A2 и A1A4 : ... .
2. а) Координаты векторов A1A2 = ... и A1A3 = ... ;
б) векторное произведение двух векторов: A1A2 X A1A3 = ... ;
в) модуль векторного произведения: IA1A2 х A1A3I = ... ;
г) площадь грани A1A2A3 : S = -^- ... .
3. а) Координаты векторов A1A3 = ... и A1A4 = ... ;
б) скалярное произведение двух векторов: A1A3 • A1A4 = ... ;
в) выберем верную формулу:
Пр. _> A^A3 = ЛИз^И4 или п _^ ^ = A1A3^A1A,
г) IVU =_;..;
д) Пр.^АИз- ... ,
4. а) Координаты векторов A1A2 =- ... , A1A3 — ... , A1A4 — ... ;
б) объем параллелепипеда, построенного на этих векторах: V= ... ;
в) объем данного тетраэдра V1 = ... .
III. Упражнения для самостоятельного решения
1. Даны векторы а = {4; —2; —4}, Ь = {6; —3; 2}. Вычислите:
а) а • 6; б) в) /б2; г) (2а • 36) • (а + 2Ь); д) (а + 6>; е) (а—6)».
2. Вычислите, какую работу производит сила / = {3; 2; —5}, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А (2; —3; 5} в положение В (3; —2; —1). Сделайте схематический чертеж.
3. Определите, при каком а векторы а = а і — 3/ + 2k и b= і + 2j — 2k взаимно перпендикулярны.
4. Вычислите косинус угла, образованного векторами а = {2. -4; 4} и Ь = {-3; 2; 6}.
15
5. Вычислите проекцию вектора а = {5; 2; 5} на ось вектора ft = {2; -1;2}.
6. Даны три вектора а = —21 + / + k, b = і + 5/ и с = M + + 4/ — 2?. Вычислите Пр.- (За • 2&).
7. Даны точки А (—2; 3; —4), В (3; 2; 5), С (1; —1; 2) и Z) (3; 2; —4). Вычислите Пр. ^ AB.
8. Даны \а\ = 10, |Ь| = 2 и а • & = 12. Вычислите |а х Ь\.
9. Векторы а и & образуют угол ф = —я. Зная, что \ а\ =1, | &|=2,
3
вычислите: а) (а х bf\ б) ((2а + ft) X (a + 2ft))a; в) ((а + 3ft) х (За— - ft))2.
10. Докажите тождество: (а х fe)2 + (а • Ь)2 = а2 • б2.
11. Даны точки А (2; —1; 2), В (1; 2; —1) и С (3; 2; 1). Найдите
координаты векторных произведений: a) AB х ВС] б) (SC — 2CA) х X CS.
12. Сила F = {2; —4; 5} приложена к точке M0 (4; —2; 3). Определите момент этой силы относительно точки А (3; 2; —1).
Указание. Если вектор / изображает силу, приложенную к
—>
какой-нибудь точке М, а вектор а отображает некоторую точку О
-> —>
на точку М, то вектор ах/ представляет собой момент силы относительно точки О.
13. Даны точки А (1; 2; 0), ? (3; 0; —3) и С (5; 2; 6). Вычислите площадь треугольника ABC.
14. Даны вершины треугольника Л (1; —1; 2), ? (5; —6; 2) и C(I; 3; —1). Вычислите длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.
15. Определите, правой или левой является тройка векторов
а, Ь, с, если: a) a = k, b = і, с = /; б) а = і, b = k, с = /; в) а = /, b = і, с — k; г) a = t + /, ft = /, с = k; д) а = t + /, & = і — /, с = f.
16. Установите, компланарны ли векторы a, b и с, если:
а) а = {2; 3; -1}; 6= {1; —1; 3); = {1; 9; -И};
б) а = {3; -2; 1}-Л = {2; 1; 2}; с = {3; -1;-2};
в) а = {2; -1; 2}; 1 = {1; 2; -3};~^ = {3; -4; 7}.
17. Даны вершины тетраэдра А (2; 3; 1), В (4; 1; —2), С (6; 3; 7) и D (—5; —4; —8). Найдите длину высоты тетраэдра, опущенной из вершины D.
18. Докажите тождество: а X (b X с) = b * (а * с) — с » (а * Ь).
16
§ 4. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
I. Основные сведения из теории
1°. Напишите общее уравнение плоскости. 2°. Закончите утверждение:
Уравнение А (х — X0) + В (у — у0) + С (z — Z0) = 0 определяет плоскость, проходящую через точку M0 (...) и имеющую нормальный вектор п = {...}.
3°. Плоскости заданы уравнениями Ax + By + Cz + D = 0 и A1X + Вгу + C1Z + D1 = O.
1. Напишите формулу, определяющую угол ф между ними: cos ф = = ± ...
2. Сформулируйте: а) условие параллельности; б) условие перпендикулярности этих плоскостей.
4°. Напишите уравнение плоскости в отрезках. 5о. Закончите утверждения:
1. Если cosa, cos ?, cos у— направляющие косинусы вектора нормали плоскости, ар — расстояние от начала координат до плоскости, то нормальное уравнение плоскости имеет следующий вид: ... .
2. Общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0 приводится к нормальному виду умножением на нормирующий множитель jx = ± где знак нормирующего множителя берется ... .
3. Отклонение б точки M*(x*;y*\z*) от плоскости х cos a + + у cos ? + z cos у — p = 0 определяется формулой б = причем:
а) б ... 0, если точка М* и начало координат лежат по разные стороны от данной плоскости;
б) б ... 0, если они лежат по одну сторону от нее.
4. Расстояние d от точки М* до данной плоскости определяется соотношением d = ... .
6°. Напишите каноническое уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку M0 (х0\ у0; Z0), если направляющий вектор
