Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.
Скачать (прямая ссылка):
кие формулы sin2 х =--- 0 а=х0 X7 X2 Xi Xi+1 X0-Jb X
о 1 + COS 2 X r>t.n 07
и cos2 X =—¦-, понизьте сте- рис-11
2
пень подынтегрального выражения и вычислите интегралы:
1) j sin2 xdx = 3) j cos4 xdx =
2) J cos2 xdx = 4) j cos2 x sin2 xdx = ... .
5. Вычислите интегралы:
1) j tg2 xdx = ||tg2 X = sec2 X — 1|| = j sec2 xdx — J dx =
2) J tg3 xdx = J tg jc tg2 xdx = ... .
6. Используя соответствующие тригонометрические формулы, вычислите интегралы:
1) J sin 1Ox sin 15xdx;
2) j sin Зх cos 5 X dx;
~2 3
3) j cos — cos —dx.
III. Упражнения для самостоятельного решения
I. J* cos3 xdx. 2. J sin5 xdx. 3. J sin2 x cos3 xdx. 4. j* cos4 6xdx.
5. Г sin*CQS* dx. 6. f-*-. 7. f-^-dx.
j (4 + cosx)2 j sin X + cos X j 1—sin л;
8. J ctg4xdx. 9. j (V j + tg4 у j dx. 10. j cos sin -J dx.
II. (sin—sin—dx. 12. fcos4xcos7xdx. J 3 2 J
§ 14. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ФИЗИКИ
I. Основные сведения из теории
1°. Закончите определения:
1. Пусть функция / (х) непрерывна на отрезке [а; 6], который разбит произвольным образом на п элементарных непересекающихся от-
резков [_xt\ х?+1], таких, что U [xt\ xw] = [а; Ь], X0 = a, Xn = о.
?=0
Пусть на каждом отрезке [_xt\ х/+1] произвольным образом выбрана точка I1 и для каждого значения і вычислено / (?) (рис. 27). Тогда интегральной суммой для функции f (х) на отрезке [а; Ь] называется ... .
Замечание. На рисунке 27 рассмотрен случай 0 < а. Из определения следует, что знаки чисел а и Ь могут быть ... .
2. Если при любых разбиениях отрезка [а; &], таких, что тахДх?-*-0, и при любом выборе точки I1 из отрезка [xt\ X^1] ... к одному
и тому же пределу, то этот предел называют определенным интегралом от функции / (х) на отрезке [а\ 6] и обозначают..., причем:
51
число а называют число Ь — функцию f (х) — отрезок [а; fr] — X — ... .
2°. Закончите формулировку теоремы существования определенного интеграла:
Если функция f (х) ... на отрезке [а; fr], то она интегрируется на
этом отрезке, т. е. ...существует.
3°. Перечислите свойства определенного интеграла, вытекающие
из общих свойств предельного перехода: ь
X) J Af (x)dx = А = const;
а
b
2) j (J1 (X) ± h Wx =
а
Ь Ь
3) Ух € [а; &]: / (х) ^ <p (х) =>- j / (x)dx ... |ф (#)<?*:;
а а
beb
4) Va, fr, с: JV (я)гіл: ... j f (x)dx ... J / если эти три интег-
а а с
рала существуют;
Ь а
5) ^ f(x)dx ... j7(*)d*.
a b
4°. Закончите формулировку теоремы Ньютона — Лейбница: Если F (х) есть какая-либо первообразная непрерывной функции / (х), то справедлива формула
b
j / (x)dx = ... .
а
5°. Найдите путь, пройденный точкой, движущейся по прямой с известной скоростью, являющейся функцией времени t. Решение.
1. Выделим достаточно малый промежуток времени [t; t + df], на котором скорость v (t) можно приближенно считать постоянной.
2. Определим «элемент пути» — путь, пройденный точкой за указанный промежуток времени: ds = v (t) ... .
3. Проинтегрируем «элемент пути» от начального момента времени До конечного момента tk. Получаем искомый путь:
'о
6°. Определите работу A1 совершаемую материальной точкой, движущейся по прямолинейному пути (вдоль оси Ox) под действием
переменной силы F (х), при условии, что направление F (х) совпадает с направлением движения. Решение.
52
1. Выделим достаточно малое перемещение \_х; х + dx\ на котором приложенную силу F (х) можно приближенно считать постоянной.
2. Определим «элемент работы» — работу, совершаемую силой
F (х) на указанном перемещении (F (х) = \F (х)\)\ dA = F (х)... .
3. Проинтегрируем «элемент работы» от начальной точки х = а до конечной точки X = Ь. Получим искомую работу:
л-$...
7°. Закончите определение:
Пусть на плоскости с введенной декартовой прямоугольной системой координат дана система материальных точек P1(X1; ух), P2 (х2; у2),..., Pn (хп; уп) с массами соответственно т1у т2, тп. Тогда:
1) произведение X1Tn1 называется... массы ть относительно...;
2) произведение ytmi называется ... массы mt относительно оси...;
3) если хс и ус — координаты центра тяжести данной системы (X1; Уі), P2 (х2; у2), ...» Pn (хп\ Уп)> то они определяются по следующим формулам:
ІУ,
8°. Найдите центр тяжести плоской криволинейной пластинки (плотность известна) (рис. 28). Решение.
1. Возьмем элементарный отрезок [_х; х + dx~] оси Ох. В криволинейной трапеции выделится элементарная полоска, которую при достаточно малом... можно приближенно считать прямоугольником.
2. Массу полоски dm = pydx будем считать сосредоточенной в
ее центре тяжести, т. е. в точке P ^x; -^j. Тогда «элемент» статического
момента dMx криволинейной трапеции относительно оси Ox найдется как произведение массы dm на ординату точки Р: dMx — dm ... .
3. Аналогично определим «элемент» статического момента dMy той же криволинейной трапеции относительно оси Oy: dMy = dm... .
