Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Егерев В.К. -> "Задачник практикум по математическому анализу" -> 6

Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.

Егерев В.К. , Несененко Г.А., Козлова В.А., Диканова З.А., Корсакова О.С. Задачник практикум по математическому анализу. Под редакцией Егерева В.К. — М.: Просвещение, 1981. — 87 c.
Скачать (прямая ссылка): zadprmavk1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 29 >> Следующая


прямой а = {/; т; п}.

7°. Прямые заданы уравнениями

X-Ci1 у —b1 Z-C1 тт X —а2 _у —b2 Z — с2

1. Напишите формулу, позволяющую найти угол ф между ними: cos ф = ... .

2. Сформулируйте: а) условие параллельности; б) условие перпендикулярности этих прямых.

8°. Закончите утверждение:

Параметрические уравнения прямой с направляющим вектором

а = {/; т\ п), проходящей через точку M0 (х0; у0; Z0), имеют следующий вид: ... .

9°. Даны прямая ^-=^ = ^^-° = lizll и плоскость

і т п

Ax + By + Cz + D - 0.

1. Укажите верную формулу для вычисления величины угла между ними:

Ax0 + By0 + Cz0#

а) cos ф = ±

б) sin ф = ±

]/> + Я2 + С2 '

_Al + ffm + __

Va2 + я2 + с2. ]/"/2 + m2 +

2. Сформулируйте: а) условие параллельности; б) условие перпендикулярности этих прямой и плоскости.

II. Примеры и упражнения

1. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку А (1; 2; 3) перпендикулярно:

1) вектору а = {3; 4; 5};

2) прямой КМ, где К (—1; 2; 1) и M(I; —2; —1);

3) горизонтальной плоскости;

4) фронтальной плоскости;

5) профильной плоскости.

2. Какие из нижеперечисленных векторов перпендикулярны плоскости Зх + 2у — 5z + 17 = 0: 1) а = {3; 2; 5}; 2) Ь= {3; 2; —5};

3) с = {6; 4; -10}; 4) d = {-1,5; -1,2; 2,5}; 5) ? = {6; 2; -5}?

3. Вычислите косинус угла между плоскостью 4х — 5у + 3z —

— 1 = 0 и плоскостью X — 4у — z+9 = 0.

4. Дана плоскость 2х + Зу — z — 3 = 0. Какие из плоскостей:

а) X + 2у + 6z — 1 = 0; г) \х + 6у — 2z + 1 = 0;

б) х — у — 2 + 2 = 0; д) X + Зу — Z + I = 0;

в) х — 2у + 8г + 1 = 0; е)х + |у- -1г+5 = 0

1) параллельны данной плоскости;

2) перпендикулярны ей?

5. Найдите отрезки, отсекаемые плоскостью х — Зу + 2г — 6 = 0 на координатных осях.

6. Найдите отклонение точки Q (2; —1; 1) от плоскости: а) Ъх —

— Зу + z — 18 = 0; б) X + 5у + 12z — 1 = 0; в) х + 4у + г + 1=0.

7. Напишите уравнение прямой, если она проходит:

—>-

1) через точку M (3; 2; 1) и коллинеарна вектору а = {4; —I;* 0};

2) через начало координат и коллинеарна вектору а = {4; —1;0};

3) через точку M (3; 2; 1) и параллельна оси Ох. (Какой смысл имеет 0, стоящий в знаменателе?)

8. Какие из нижеперечисленных векторов коллинеарны данной

„ х + 2 у— 1 z

прямой —— =--= —:

3—2 1

а = {-3; 2; -1}; 1 = {6; -2; 4}; с = {-2; 1; 0}; d = (9; -6; 3}

18

9. Определите угол между прямыми

х— 1 _ у _ z + 3 X _ у + 2 _ z

1 ~~ — 4 ~~ 1 2 ~~ — 2 ~~ — 1"

Решение.

1. Координаты направляющего вектора первой прямой:

2. Координаты направляющего вектора второй прямой:

3. Выпишем формулу

COS ф = ±

или

X1X2 + У1У2 + Z1Z2

COS ф = ±

V A + y\ + *\-V 4 + Я + ъ

2

для вычисления косинуса угла ф между прямыми

X-X1 у — уг z~Z1 и х— х2 = у—у2 _ Z-Z2

I1 TTl1 Ti1 I2 TYl2 Tl2

4. Величина угла между прямыми: ф = ... или ф = 10. Докажите параллельность прямых

je—1 у —2 z+3 je+1 у —2 z+1

4 —6 9 2 —3 3

11. Докажите перпендикулярность прямых

X _ у — 1 _ Z + 1 л — 2 _ у + 2 _ 2 — 1 2 —З 1 5 ~ 4 2 '

12. Найдите точку пересечения двух прямых

х + 2 _ у__z — 1 х — 3 _ у — 1 _ Z-7

2 ~ — 3 ~~ 4 И 3 ~~ 4 ~" 2 ' Решение.

1. Параметрические уравнения первой прямой: ... .

2. Параметрические уравнения второй прямой: ... .

3. Значения параметров, соответствующих точке пересечения прямых: ... .

4. Координаты точки пересечения данных прямых: ... .

13. Найдите точку пересечения прямой х~ 12 = = г~ 1

4 3 1

и плоскости Зх + 5у — z — 2 = 0. Решение.

1. Параметрические уравнения прямой: ... .

2. Значение параметра, соответствующего точке пересечения дан* ной прямой и данной плоскости: ... •

3. Координаты искомой точки: ... .

14. При каком значении коэффициента А плоскость Ax — 2у + + Зг — 1 =0 будет параллельна прямой —— = —^- =—у-?

19

15. При каких значениях коэффициентов Л и В плоскость Ax + By — 3z — 7 = 0 перпендикулярна прямой -= =

2 —4

г —

~ 6

16. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую

— =^2=2-+2 и точку Л (4; 5; 1). 12 3

Решение.

1. Уравнение плоскости, проходящей через точку Л (4; 5; 1): ... ,

2. Условие параллельности данной прямой и искомой плоскости:

3. Условие принадлежности точки, через которую проходит прямая, плоскости: ... .

4. Выразим два коэффициента из двух уравнений с тремя неизвестными через третий коэффициент: ... .

5. Подставим найденные значения ... в уравнение искомой плоскости: ... .

6. Уравнение искомой плоскости: ... •

III. Упражнения для самостоятельного решения

1. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через начало координат и имеет нормальный вектор п = {1; 2; —3}.

2. Составьте уравнение плоскости, которая проходит через точку

M (3; 4; —5) параллельно двум векторам ах = {3; 1; —1} и а2= {1;-2; 1}.

3. Какие из нижеперечисленных плоскостей взаимно перпендикулярны, а какие взаимно параллельны:
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 29 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed