Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Егерев В.К. -> "Задачник практикум по математическому анализу" -> 14

Задачник практикум по математическому анализу - Егерев В.К.

Егерев В.К. , Несененко Г.А., Козлова В.А., Диканова З.А., Корсакова О.С. Задачник практикум по математическому анализу. Под редакцией Егерева В.К. — М.: Просвещение, 1981. — 87 c.
Скачать (прямая ссылка): zadprmavk1981.djvu
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 29 >> Следующая


Vbx2 — 2* + 1

2)2+1 (—2* — 1 + 9) dx

— (Юл; — 2 + 2)dx 10 v___

5 U

III. Упражнения для самостоятельного решения

Найдите интегралы:

1. 4. 7. 10.

13. 16.

I

dx

2 + 6* + 10

2л:2 — Зл: + 3 7л: dx

2. 5.



1 —
2л: — л2


dz

3z2-
- 3z + Г

(3*
— 8)dx

У і-
-2х — х2


dz

У 3z2
— 32+1

X dx

У х*


л:2 + X — 1

3.

6.

dx

л:2 + Зл: + 0,25 (4л: + 5) dx

2х2 + Ьх + 20 '

dx

Y л:2+ 3*+0,25

(Зл: — 8) dx

Y 2*2 + 5л: + 20

,2-I

:2+6л: + 10 сїл:

У 2х2
— Зл: +3

(Ax
— 5)dx

Y X2+X+ і

§ 12. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ДРОБЕЙ И ПРОСТЕЙШИХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТЕЙ

I. Основные сведения из теории

1°. Закончите утверждение:

Всякую рациональную функцию можно представить в виде рациональной дроби, т. е. в виде отношения двух ... .

2°. Заполните таблицу следующих интегралов от простейших дробей:

1) Г —^— = 2) Г---dx=* если п ^ 2;

J X — a J (х — а)п

3)1 Г A* + B dx= .., 4)- Г М + В

' Jax2 + bx + c ' J (ах* + Ьх+с)л

3°. Закончите утверждения:

1. Всякую правильную рациональную дробь можно представить в

dx =

1 Хотя формула справедлива для любого знака дискриминанта квадратного трехчлена, простейшей дроби соответствует D < 0.

2 Нахождение интеграла этого типа предоставляется студентам для самостоя тельного рассмотрения дома. См.: Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление. M., 1972, т. 1.

44

YlpZ- Ax + 5 С (2х — 8) гіл:

J К 1 — л: — X2

виде ... простейших дробей, т. е. справедливо следующее соотношение:

PtM =_Ptix)_— \\t<k + l + 2m+

Q (X) (X - a)k (X - b)1 (х2 +рх + q)m (x2 + rx + s)n

A1 A2 Ak B1 B2

+ 2n\\ =

(x — a) "' (x — o)2 "'(x — a)k'" (x — b) ' ' (x — b)2

M1X + N1 M2x + N2 Mmx + Nm

'"(х- b)1 X2 +px + q (X2 +px+ q)2 (x2 + px + q)m D1X + E1 D2X + E2 Dnx + Zn

x2 + rx+s "' (x2+rx + s)2 '" (X2 + rx + s)n '

2. Правильную рациональную дробь, знаменатель которой разлагается лишь на неповторяющиеся множители первой степени, можно представить в виде суммы простейших дробей, в знаменателях которых стоят ...:

__P1(X)_= _ ^

(X-O3)(X-Cl2)(X-O3) ... (х — ап)

3. Если знаменатель правильной рациональной дроби содержит лишь множители первой степени, среди которых имеются повторяющиеся, то справедливо соотношение

_Рґ(х)_= A1 ^ A2 ^ A3 ^

(X — G1) (х — O2)k (х — Ь{) (х — Ь2)? X — O1 X — O2 (х — O2)2

Ak+i j ві В2 вз Bj+i

(х — a2)k X — b1 X — b2 (х — O2)2 (а: — Ь2)1

4. Правильную рациональную дробь, знаменатель которой разлагается лишь на неповторяющиеся множители второй степени с отрицательными дискриминантами, можно представить в виде суммы простейших дробей, в знаменателях которых стоят...:

_P1(X)__ _ 9

(X2 +P1X + qx) (X2 + р2х + q2) ... (х2 + Pn х + qn)

5. Если знаменатель правильной рациональной дроби содержит лишь множители второй степени с отрицательными дискриминантами, среди которых есть повторяющиеся множители, то справедливо соотношение

_P1(X)_ =

(X2 + P1X + Яі) (X2 + P2X + q2)k (X2 + р3х + q3) (х2 + р,х + qj

4°. Закончите формулировку правил:

т г

1. Для того чтобы интеграл вида IR (х, х п , х s)dx* преобразовать к виду IR (t)dt, надо ввести новую переменную t9 положив t* = ху где k ... .

т г

2. Для того чтобы интеграл вида \R (xj1130 ^~b\ п, (ах^~ \s \dx

V 9\сх+ d) \сх +d] J

1 /?(...) — символ рациональной дроби своих аргументов.

45

свести к интегралу от рациональной функции, надо сделать замену

^±-6 = Л где .

сх+ d

II. Примеры и упражнения

1. Какие из нижеприведенных дробей являются правильными и какие — неправильными:

D 2) ї±1; 3) 4) -^+Ь + ^.

х — 29 'jc + 7' 7 (jc —а)я* ' (л:-2)(л: + 3) '

е. Ах + ? 6ч 4л: + 13 ?. Лл; + ?

'а*2 + &с + с' ' (л:2 + 5л: + б)2 ' (ax2 + frc+c)" '

2. Выделите целую часть неправильной дроби: а) путем деления многочлена на многочлен или б) путем формирования в числителе выражения, равного знаменателю. Представьте рациональную дробь в виде выделенной целой части и правильной остаточной дроби:

D * + 1 _ д:+ 1 +6 — 6 = } х + 7 х + 7

х5_хз + 4 хъ хз+ 4

д;3 + 2л:2 + Зх + 6

л:2 — 2л:...

— 2л:4 — 4л:3 — 6л:2 + 4

— 2х4 — 4х3 — 6х2 — \2х

оч л:4 — 6л:3 + 12л:2 + 6 _ л:6+2л:5 —1

д;3 _бл:2 + 12л: —8 л:3+ 2л:2+ 2л:

3. Вычислите нижеприведенные интегралы, используя таблицу интегралов от простейших дробей:

;J7-/ ^(2* + ?3-' 'J 2*2 + 2х + 3'

(Зл: + 5) dx

(л:2 + 2л: + 2)2

4. Проинтегрируйте рациональную дробь, знаменатель которой разлагается лишь на неповторяющиеся множители первой степени:

Зл:2 + 2л: — 5 ^

(jc+ 1)(^— 1) (*-2) Решение.

1. Выясним, является ли подынтегральная дробь правильной рациональной дробью. Если нет, то выделим ее целую часть: ... .

2. Запишем подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей:

Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 29 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed