Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема доказана.
Замечание. В этой формулировке период ш не обязательно наименьший, он
может быть кратен некоторому наименьшему периоду tu0> т. е. теорема
остается верной, если
(1) = /ПШ0',
где - период системы (3.24.1) и т-целое число, отличное от нуля.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 111
225
Упражнения к главе III
1. Доказать, что
lira <р (t) - lira ф (t) lira ftp (t) - ф (i)l ^ <f (0 -*'шФ (0.
t-+ CO t -* 00 /->00 t-*CO t -*¦ ОС
предполагая, что (t) и ф (t) определены и ограничены в ишервале (i0, со).
2. Пусть
§-ЛЧ>х,
где A(t)?C[tо, оо). Доказать, что
t
|| JC (^) п =s? il JC (г^о) I! exp ^ li л (") И с?'с
И
5 II х (х) [| rfx sg jj х (t0) || • [exp j|| A (x) || dx - I]
при t 3: t0.
Вывести отсюда, что если
\ j| А (т) Ijrfx <со,
то для каждого решения х (t) существует limx(i).
/ -> СО
3. Пусть нелинейная система
d* * rj. л
4t=f{t' х)
такова, что f(t, x)^Ct(Z), где Z= {i0 sS i <оо, || х || < И} и в Z
выполнено условие Липшица:
1|f(t, x')-f(t, *) |К A [I -
где L-положительная постоянная.
Доказать, что каждое решение системы x(t) (t0 sC t < оо)' имеет конечный
^характеристический показатель [х].
4. Пользуясь неравенством Важевского, исследовать на устойчивость
скалярную систему
dx, . 2 I . 2Ь\
ж=-хапЧ+[а + т')у,
dt
где а и Ь-действительные постоянные.
5. Пусть
d*=A{t)x,
8 Ь. П. Демидович
ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
[ГЛ. Ilf
где A(t) - {afft(t)} - действительная (л х л)-матрица и г (О = "in [ а,У
(t) = 2
U-^j
I
/? ft, = max [ aiy{t) + V
к Ф /
Доказан., чго
¦ (t") exp r (tt) dty - -v*/i • -v (t") ; exp ^ R
(^)
при где a* (t) \ - евклидова норма решения x (t).
6. 11 verb
J= A Pik(t)Xk (7=1, •••> n),
dx
dt
k =
где pjk it) \tоо), причем lim^/7,(i)=0 при j^=k и
t -* CO
Re \Pk-i, к--i (О -Ркк (01 ^ c > 0 (ft = 2, ..., "),
с - постоянная.
Доказать, что
t
а* = Пшт \ Re ; ркк (х) ! dx (ft=l, я)
-* СО 1 *)
to
являются характеристическими показателями Ляпунова дайной системы (см. [-
51, [12]).
7. Доказать, что для линейной системы
dx
dt=Jx
с постоянной матрицей Жордана J ее фундаментальная система
является нормальной.
8. Доказать, чго фундаментальная матрица X(t) действительной
приводимой системы
dx ,
1 It' X
dt ' '
является нормальной тогда и только тогда, когда для суммы
характеристических показателен ее решений выполнено равенство Ляпунова
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ III
227
В частности, для системы
dx
dt
¦¦ Ах,
где А - действительная постоянная матрица, ее фундаментальная система X
(t) нормальна лишь тогда, когда
о = Sp А.
9. Пусть для линейной системы
dx
w = A{t)x,
Х№) = {хк (<)} - нормальная фундаментальная система и Z (t) = {г<к' (t)}
- какая-нибудь фундаментальная система, причем
где а* = Х [х'*' (*)], а* = Х [г'*' (01 (k-\,...,n).
Доказать, что
ak (*= *. - и).
10. Пусть линейная система
dx , dt = Л & Х'
где A (t) ?С [*0, со), sup ]| A (t) || < со, приводима к системе
dz
~dt = '
матрица которой С постоянна и имеет собственные значения с простыми
элементарными делителями. Тогда система
dy
dt
= \А (t) +B(t)]y,
где B(t)^C[t0, со) и ^ || В (t) jj dt <со, также приводима.
^0
П. Показать, что линейная система
dx
dt
с матрицей
A\t) =
О 1
о
неприводима (ср. 10).
12. Пусть действительная линейная система
dx
228 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. 41
(А(*)?С[0, оо) и sup || A (t) jj <оо), имеющая спектр X,........Х",
обладает
t
нормальной фундаментальной матрицей X (t) такой, что
sup || X (t) e~At || < оо t
и
t
sup I exp f1k - \ Sp A (x) dz] j < oo,
* k о
где Л = diag (X" ..., Xn).
Доказать, что система (*) приводима (см. [13]).
Указание. Использовать подстановку
x = X(t) е~ tAy.
13. Доказать, что если линейная система
ж = А(r)*'
где A (t)^C\t0, оо), устойчива и приводима, то она равномерно Устойчива
(см. [37]).
14. Действительная линейная система
(A (t) ? С [?0, оо)) называется ограниченно устойчивой (см. [37]), если
она устойчива одновременно с сопряженной системой
Q = - AT(t)y.
Доказать, что система (•?*) ограниченно устойчива тогда и только тогда,
когда она приводима к системе с нулевой матрицей.
15. Доказать, что если система (**) ограниченно устойчива и
^ || В (t) || dt < оо,
то система
dz
Т~-=И (t) + B(t)]z
также ограниченно устойчива (Конт и).
16. Две матрицы A (t) и В (t), непрерывные и ограниченные на [?0, оо),
называются кинематически подобными [13], если существует матрица Ляпунова
L (t) такая, что
L~l (t) A (t) I (t) - L~'- (t) L(t) = B (t).
Доказать, что если матрицы систем
W = A(t)x и 5 =
ограничены на [?0, со) и кинематически подобны, то эти системы обладают
одинаковыми спектрами, причем одновременно являются правильными или
неправильными (Ляпунов).
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАЗЕ Ш 229
17. Доказать, что если система
л
~dt= {)Х
с непрерывной и ограниченной матрицей А (t) правильная, то ее с помощью
сохраняющего характеристические числа линейного непрерывного
преобразования
x = S (t) у
можно привести к системе с постоянной матрицей (В = const).
18. Пусть A (t)=[a/k(t)\?C (Ij) -ограниченная треугольная матрица и
