Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
на основании формулы (3.19.21) для константы Ляпунова а получаем
следующее выражение:
а2 + Р2 .
а = 2 cos ас cos [3 (to - с) -
sin ас sin ^ (га - с) =
= 2(Ь
\
Л
-у'--'1'
32/
2 24/
+ о(5)= - 2-
ам>-4) +
¦ о (5) при 8 -"• 0.
Следовательно, при достаточно малом положительном 5 выполнено неравенство
а <- 2, и таким образом, уравнение (3.19.22) является неустойчивым.
§ 20. Гамильтонова система дифференциальных уравнений
Пусть
Н = Н (t, qu ..., qn, ри ... , рп)ввН (t, q, р) ? Cfq'px' n
действительна и
дН , [дН
ч- colon 1 ,
dq \dqt'
Система
дН\ дН , (дН д!1\
' dqj ' др~~с0 0П 1 dpi ' • • • ' дрп) ¦
(3.20.1)
называется гамильтоновой или канонической с функцией Гамильтона Н. Такие
системы играют важную роль в теоретической механике (см. [32], [33]).
Заметим, что если Н не зависит от t:
H = H(q, р),
то* каноническая система (3.20.1) допускает первый интеграл Н (<7> p) - h
= const.
Положим
х -
Q
..Р
и пусть
- 0 Е"1
--?я 0 J
§ 20]
ГАМИЛЬТОНОВА СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
209
- так называемая симплектическая единица. Тогда каноническую систему
(3.20.1) можно записать в виде
dx дН
dt дх'
ГЗ.20.2)
где
дЛ
дх
Г дН
dq
дН L др
¦ Для единообразия введем обозначения: q = (xu хп),
р - (%n+i" " х%п). Тогда
H - H(t, х).
Пусть функция Гамильтона Н есть квадратичная форма переменных хи ... ,
хш, т. е.
Н (t, х) = у ^ ajk (0 Xj-xk, (3.20.3)
j, k
а,и (t) = akJ(t).
Из формулы (3.20.3) имеем
2 aik (t) xk dH\_ k
где
дН , !дН дх С0 0П (йлг! ' " ' ' дх.м j
= А (t) х,
где a(t) = [aJk(t)]- симметрическая матрица. Отсюда получаем линейную
гамильтонову систему
f=JA(t)x
с функцией Гамильтона
Н (t, x)=^[A(t)x, х].
Заметим, что
Sp[JA (01=0.
Действительно, если
-P(t) Q (ty
(3.20.4)
A(t):
Q (Л R(t)
то
JA (t) =
-I о a i 'P(t) Q (ty Q(t) R (ty
1 a О i _Q(t) R (t) _~P(t) - Q (t)
210 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [1Л. ш
и, следовательно,
Sp [JА (/)] = 0.
Пусть
х = colon (х\, , хы), у = со\оп{уи ... , у.2п)
- любые решения гамильтоновой системы (3.20.4) (векторы-столбцы).
Через хг обозначим транспонированное решение (вектор-строку)
хт = (х1, ..., х.1п).
Лемма. Для любых двух решений х и у линейной гамильтоновой системы
(3.20.4) остается постоянным их симплектическое произведение
u = xTJy. (3.20.5)
Доказательство. Дифференцируя функцию и, получим
Так как х и у - решения системы (3.20.4), то d^ = JA{t)x и % = JA(t)y.
Отсюда, учитывая симметричность матрицы А (/) и то, что
JT=-J,
получаем
Следовательно, принимая во внимание, что
из формулы (3.20.5) имеем
djL = - xTA(t) JJy -\-xTJJA {t)y = xTA(t)y - хТ A(t)y~ 0. Поэтому
и = х TJy = const.
Замечание. Лемма остается верной для (2я X 2я)-матрич-ных решений X (/) и
Y (i) гамильтоновой системы (3.20,4), т. е.
Хт(t) JY (f) -- С, где С - постоянная (2п X 2я)-матрица.
§ 2,Ц ВОЗВРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 21 1
§ 21. Возвратные уравнения
Определение. Алгебраический полином
f(z) = asszn + alzn -' + ... + ая (3.21.1)
(аафО, z = x-\-iy)
называется возвратным, если коэффициенты его, симметричные относительно
крайних членов полинома, равны между собой, т. е.
а" = 4^ (k = 0, 1, ... , ?(|)). (3.21.2)
Отсюда вытекает, что для возвратного полинома f (г) степени п справедливо
тождество
f(l}j=±f(z) (гф 0). (3.21.3)
Обратно, если для полинома f(z) выполнено тождество (3.21.3), то этот
полином возвратный.
Приравняв нулю возвратный полином, получим возвратное уравнение
f(z) = tfoz', + ai2''~1 + --> + ai2'+ao = 0. (3.21.4)
Если степень п возвратного уравнения четная, то с помощью подстановки
1 г
его можно свести к уравнению степени у относительно неизвестного t.
Возвратное уравнение нечетной степени п имеет корень z, = = -1, выделив
который получим возвратное уравнение четной степени п--1. Таким образом,
указанная выше подстановка позволяет привести возвратное уравнение
нечетной степени п к алгебраическому уравнению степени -у-.
Лемма. Если уравнение (3.21.4) возвратное, то каждому корню его zs Ф ± 1
соответствует взаимно обратный корень
Ъ = (3.21.5)
той же кратности. Если, сверх того, данное уравнение имеет корень г = 1,
то кратность этого корня четная; если же оно
212
ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
[ГЛ. III
имеет корень z = -- 1, то кратность последнего сравнима со степенью
уравнения п по модулю два1).
Доказательство. Действительно, корни возвратного уравнения удовлетворяют
условию (3.21.5), так как, если
f(zs) = 0 (zs Ф 0), то на основании тождества (3.21.3) имеем
Заметим, что в случае г5 = ±1 получаем очевидный результат zt - ± 1.
Покажем теперь, что кратности взаимно обратных корней возвратного
уравнения одинаковы.
Обозначим через as кратности корней zs (s = 1, ..., т),
расположенных
внутри единичного круга | z J 1 и на верхней полуокружности jzj = l, Im
z^>0, а через 35 кратности соответствующих взаимно обратных корней ~,
расположенных, очевидно, вне единич-ного круга J z \ 1 и на нижней
полу-
окружности jzj = l, Imz<^0. Кроме того, кратности возможных корней г=1 и
г = -1, лежащих
