Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
исключается.
Замечание. Периодическое решение у (t) неоднородной системы (3.23.1)
может быть записано в виде (см. [2,9])
О)
y(t) = \G(t, x)/(x)dx, (3.23.6)
о
где
G(t, х) = X (0 [Е - X (со)] !Х 1 (-с) (3.23.7)
§ 23^ НЕОДНОРОДНАЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 217
при О "С Т ==С t sg CU И
G(t, т) = X(f + ">)[? -ХИГ^СО (3.23.7')
при Oscf<^T==c;cu.
Действительно, из формулы (3.23.5) получаем
(t) = J X (t) [Е-Х (а>)ГХ-1 (т)/(т) dt +
О
со
+ 5 X(0[?-X(<o)]"1X(a))/(T)dT.
i
Отсюда, учитывая, что
[Е - X ИГ1* М = X (to) [Е - X (со)]'1
X (О X (ш) = Х (/ + ">),
будем иметь формулу (3.23.6).
Нетрудно проверить, что функция G(t, т), определяемая формулами (3.23.7)
и (3.23.7'), обладает следующими свойствами:
1) G(T-fO, т) - G(t~ 0, т) - Е;
2) G (0, T) = G(to, т);
3) Gt(t, t) = A (t)G(t, t) (t^ т)
при 0 eg т t sg to. Эти свойства однозначно определяют функцию G(t, т),
Если однородная система (3.23.2) имеет нетривиальные to-периодические
решения (резонансный случай), то соответствующая неоднородная система
(3.23.1) допускает to-периодическое решение не всегда.
Теорема 2. Пусть линейная однородная to-периодическая система (3.23.1)
допускает k линейно независимых to-периодических решений q>i(0, Ф*(0
Тогда
1) сопряженная система
= (3.23.8)
имеет также k линейно независимых to-периодических решений
••• - 'МО;
2) соответствующая неоднородная система (3.23.1) имеет to-
периодические решения тогда и только тогда, когда выполнены условия
ортогональности
(О
f(t))dt = 0 (s=l, ..., k), (3.23.9)
о
к 23] НЕОДНОРОДНАЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 21ff
независимых w-периодических решений ^ (t), ..., сопря-
женной системы (3.23.8).
2) Докажем сначала необходимость условий (3,23.9). Пусть у (t) -
некоторое w-периодическое решение неоднородной системы (3.23.1). Из
условий co-периодичности (см. формулу (3.23.4)) следует, что начальное
значение Уо=У (0) удовлетворяет условию
Cl)
[? - А- (<о)]зг0= X (<*") 5 X 1 (t)f(t) dt. (3.23.12)
о
Пусть tys(t) (s = 1, ..., п) - некоторое w-периодическое нетривиальное
решение сопряженной системы (3.23.8). Тогда
[?-*(ю)]*^ (0) = 0
и, следовательно,
0 = ([?-X(">)]*iM0), у9) =
СО
= (Ч>,(0), [?-^М]^о) = (^(0), *(<•>)\X-'(t)f(t)dt] =
о
со со
= f[X("o)]*^(0), \x-'(t)f(t)dt] = {qs(0), \X~1(t)f(t)dt) =
о о
со (О
= 5(^(0), X-'(t)f(t))dt = \([X-'(t)]*qs(0), f(t))dt.
о о
Но
IX-1 (0] * ^5 (0) = s (t) (0) = ^ (t);
поэтому
<1)
5(^(0, f(t))dt = 0 (s= 1......k).
о
3) Докажем теперь достаточность условий (3.23,9). Пусть условия
(3.23.9) выполнены. Тогда, если |0 - собственный вектор матрицы [X(w)]*,
отвечающий единичному мультипликатору Р = 1, т. е.
[Л"]* So = So,
то
к
Е(0 6о = Цс,Ч>, (О
?"= 1
? 23] НЕОДНОРОДНАЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 219
независимых to-периодических решений tf, (t), ... , tp*, (t) сопряженной
системы (3.23.8).
2) Докажем сначала необходимость условий (3.23.9). Пусть у (t) -
некоторое to-периодическое решение неоднородной системы (3.23.1). Из
условий to-периодичности (см. формулу (3.23.4)) следует, что начальное
значение _у0 =у (0) удовлетворяет условию
(О
1Е-Х('")]уа=Х(ю)5 X '(t)f{t)dt. (3.23.12)
о
Пусть ф4(0 (s = 1, .,п) - некоторое ^-периодическое нетривиальное решение
сопряженной системы (3.23.8). Тогда
[E-XMl*qs( 0) = 0
и, следовательно,
0 = ([Е-*(">)]**,(0), ув) =
(О
= (*,(0), [?-XM]^0) = (|s(0), x(*)\x-'(t)f(t)dt) =
о
со (О
= ([*(")]* 1>5(0), 5Х1(0/(0Л) = (^(°)- =
о о
и) (о
= 5(^(0), А--* (0У(0) Л=s ([-Х'"1 (О]* ^ (0), f(t))dt.
о о
Но
[X-' (t)]* (0) = s (t) (0) = % (/);
поэтому
to
$(^(0, f(t))dt = 0 (s=l, ... , k).
0
3) Докажем теперь достаточность условий (3.23.9). Пусть условия
(3.23.9) выполнены. Тогда, если |0 - собственный вектор матрицы [X
(">)]*, отвечающий единичному мультипликатору р= 1, т. е.
[*(")]*So = So,
то
k
Е (01о = 2 (t)
5=1
220
и, следовательно,
ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
[ГЛ. III
о = $(3(0 So, ", 3* (0/(0)dt =
О о
со со
=S(go, * W(0)^=$axHrso, X4t)f{t))dt=
о о
со со
= S(g", XHX-J(0/(0)^ = (lo, SXWXJ(0f{t)dt).
Таким образом, система
[X (">) - ?]* So == О
эквивалентна системе
[X(<o)-?]*Sn = О,
0>
(So, \X{*)X-'{t)f{t)dt) = 0
(3.23.13)
(3.23.14)
и, значит, ранги матриц этих систем одинаковы. Отсюда, учитывая, что
матрица системы (3.23.14) отличается от матрицы системы
СО
(3.23.13) лишь на вектор-строку j $ X (<в)Х-1 (0/(0 dtj *, для
о
ранга системы (3.23.12) будем иметь следующее выражение:
ранг
X (ш) - Е К X (ш) X-1 (0/(0 dt
ранг
[ХМ -?]*
[Jx(o,) X^ (t) f (t) dt\
= ранг ([Х(ш) - ?]*) =
= ранг (X (<в) - Е) = п - k.
Следовательно, в силу теоремы Кронекера - Капелли (гл. I, § 5) система
(3.23.12), определяющая начальные условия "j-перио-дических решений
неоднородной системы (3.23.1), совместна и имеет k линейно независимых
решений.
S 231 НЕОДНОРОДНАЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА 221
Теорема доказана.
Существование to-периодических решений линейной периодической системы
связано с наличием ограниченных решений ее.
Теорема Массера. Если линейная неоднородная ш-перио-дическая система
