Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Демидович Б.П. -> "Лекции по математической теории устойчивости" -> 49

Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости — М.:Наука, 1967. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematicheskoyteoriiustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 121 >> Следующая

(3.17.3)
где
W(t) = 0(t)S~1
неособенная непрерывная матрица периода ю. Пусть Y{t) = [yjk{t)} й Чр (0
= [ф/* (/)]. Полагая
Fj (0 = ^(0 diag [е^<4 0, ..., 0],
где
А 1 0 ... СГ
АМ = 0 1 ... 0
0 0 0 ... к.
е>ч! t XXе м tet- I
("1-1)!
gtJiQ* i) - 0 eli' Л-2
("1 - 2)!
0 0 eli>
получим соответствующие корню X, частные решения:
уа> =
Фи (О _Фл1 (0;
¦[т Фи (О Н~~ Фи (О
j(ei' =
_[7 Фп1 (О "Г фпз(0
(?1_ 1)1 Фи (0 + ¦ • • + Ф1К1 (О te'~l
Фш(0
¦ фя!-! (О..
ех' м.
192 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. Ml
Систему решений у0>, у'еможно записать более просто. Пусть
?4t)= .........
и
pU) <7) = 7^=Т)! ^'} {t) ' •' + Т!^'- "{t) + ^{t)¦ (гЛ1А^
Обозначим через D операцию дифференцирования по t при условии, что tyjb
(t) постоянные, т. е.
DpKX) (0 = (^)! V" (*) + ••• + Ч>("-'> (О,
I)f, - ipil) (^ - ^(1)
Тогда группу частных решений, соответствующих клетке Жордана J\0\), можно
записать следующим образом (ср. [14]):
у{\) =e\ltDei-\p(l) (/)_
yl2, = eMDei_2jP(i)(0i (ЗЛ?5)
у!Р,) _ gXj/pd)
где Pih (t) - матричный полином типа n X 1 от i степени еi - 1,
коэффициенты которого ш-периодические матрицы-столбцы.
Аналогичную форму имеют группы частных решений, соответствующие остальным
клеткам Жордана Jp(lp)(p = 2,..., т).
Из формулы (3.17.5) вытекает, что для каждого характеристического
показателя X однородной периодической системы существует ее нормальное
решение вида
у = е'->^ (t),
где (0 -непрерывно дифференцируемая "-периодическая вектор-функция.
В частности, если все мультипликаторы рь ..., ?я периодической системы
простые, то существует ее фундаментальная система нормальных решений,
имеющая вид
5 18] ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ МУЛЬТИПЛИКАТОРОВ 193
где , п) - непрерывно дифференцируемые ш-перио-
дические вектор-функции и X/ = -I-Lnp/ (/=1,..., п).
Пример. Рассмотрим скалярное уравнение
4" р (t) -? 4" <7 (О х = 0" (3.17.6)
где р (t) и q (t)-непрерывные ш-периодические функции. Полагая у = ?,
получим линейную периодическую систему
dx
dt'=y'
^f - - q(t)x-p(t) у.
Пусть рj и р2- мультипликаторы системы (3.17.7) и x/=~LnPj (j=l 2)-
(3.17.7)
'Гак как
то можно принять
Pi Ра = ехр [- 5 Р (t) dt j ,
Х, = -X, --Up(f)rff.
to J 0
Если pi^pa или же pi = p2) но им отвечают простые элементарные делители,
то уравнение (3.17.6) будет иметь фундаментальную систему решений:
(О eXlt, xs - ф2 (t) ех*',
где и ф2(<)-непрерывно дифференцируемые ш-периодические функции.
Если р! = р2 и соответствующий элементарный делитель не является простым,
то уравнение (3.17.6) допускает фундаментальную систему решений:
*1 =>h (*) "Ч *2 = ДО, (t) 4- ф2 (0]
где ф, (?) и Фа (0 - "-периодические функции класса С1 и
о
§ 18. Приближенное вычисление мультипликаторов
Пусть A (t) - непрерывная ш-периодическая матрица. Основной промежуток
[0, ш] с помощью точек
o = ;0<?i<...<;m_i<;m=:c" разобьем на т равных частей, и пусть
Н = = /;г+] tfo = - .
7 Б. П. Демидович
194 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. III
В дифференциальном уравнении
%f = A(t)X, (3.18.1)
где Х(0) = Е, следуя [30], заменим матрицу A (t) кусочно-постоянной
матрицей:
Ah{t) = Ak при tk^t<itkJrj (3.18.2)
(к - 0, 1, ... , т- 1),
где
например,
min A (t) ^ A k ^ max A (t),
* е к*. W ' е [/*. fk+i]
ft+1
Л*=1 J Л(0Л.
Обозначим через Xh = Xh(t) непрерывную матрицу, удовлетворяющую в точках
непрерывности коэффициента Ah (t) дифференциальному уравнению
^ = Ah(t)Xh, (3.18.3)
где и Xh(0) = Е. Обобщенное решение Xh легко по-
строить. На основании формул (3.18.2) имеем
-'jf = AkXh ПРИ
и
^аг=Аыхн при где Ak(k = 0, 1,..., т-1) - постоянные матрицы. Отсюда Xh =
e[t~'h)AkCk при 1
и
Xh = e(t~'k-")A^Ck+1 при
Используя непрерывность решения Xh в точке t = tM, будем иметь
С*+1 = е*л*С* (к = 0,-\.......т - 1). (3.18.4)
Кроме того, при k = 0 и t = t0 = 0 получаем Xh(0 ) = Е = Са.
§ 18] ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ МУЛЬТИПЛИКАТОРОВ 195
Из формулы (3.18,4) последовательно выводим
Л А
С\ = ehA°CQ = е С2 = ehAiC\ = ehAl • ehA°,
Ст_\ = ehAm~s ¦ ehAm~s... ehA°,
(3.18.5)
причем, так как матрицы Л0, Ль..., Лт_а в общем случае неперестановочны,
то в формуле (3.18.5) нельзя применить правило перемножения
экспоненциалов. Следовательно,
Xh{t) = e{t-^h.ehAk-1 ...е>Ао (fft<f<fft+1). (3.18.6)
Таким образом, для последнего промежутка (tm_u tm) будем иметь
*л (0 = e(t - Vi) Am-1. ehAm-2 ... ehA<> (tm A < t < tm = <o).
Отсюда, полагая, что t~>tm - 0 = u> - 0, получим
Xh (<*>) = ehA(tm)-' ¦ ehAm~* ...ehA". (3.18.7)
Используя первую норму матрицы (см. § 8 из гл. I), оценим :i ХА(ш) - X
(ш) ||. Из дифференциальных уравнений (3.18.1) и (3.18.3) имеем
X (t) = Е -)- ^ A (^i) X (^) dt\
о
и
Xh(t) = E+\Ah(t1)Xh(t1)dt1.
о
Отсюда
Xh (t) - X (t) = $ [ Ah (^) - A (^i)] Xh (^) dti
о
+ (Л ft) [Л* (*,)-*(*,)] Л,.
о
Переходя к ..норме при получим
1; *А W - * (0.. < {i! лЛ м - a (t,) н || хл (/,) || dtx +
\ II A (ti) || ii Xh (/j) - X (ti) li dti. (3.18.8) о
7"
196 ПЕРВЫЙ МЕТОЛ ЛЯПУНОВА [ГЛ. III
Пусть
' Л U) ¦ М при Osg^sgoj;
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed