Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
конечном интервале (a, b)CZ(- оо, -j-оо). Следовательно, <р (t) и ty(t)
суть функции класса С1 (- оо, -)- оо), удовлетворяющие дифференциальному
уравнению (3.19.1) всюду, за исключением, быть может, точек разрыва
коэффициента p (t), число которых конечно на каждом промежутке [k"о, (&-
|-l)u)] (k - 0, ±1, ±2, т. е. ср(?)иф(?) являются обобщенными решениями
(см. § 18) уравнения (3.19.1). Иначе говоря, ср (t) и ф (t) суть решения
дифференциального уравнения (3,19.1), записанного в интегральной форме:
I
х (t) = X (0) - 5 р (t) X (т) d*.
о
Так как
ср (t) ф(0
т (0 ф (О
при *?( - оо, -)- оо), то ср (/) и ф (t) представляют собой
фундаментальную систему решений дифференциального уравнения (3.19.1) на
каждом интервале непрерывности его коэффициента p(t). Отсюда, используя
непрерывность функций <f(t), ф (f), $ (t), ф (t) и переходя
det X (t) =
= 1
S 19]
УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
205
к пределам, получаем, что ? (t) и <j> (t) образуют фундаментальную
систему решений уравнения (3.19.1) навеем промежутке(- оо, -j-со). Тем
самым константа Ляпунова а имеет выражение (3.19.15) и приведенные выше
признаки неустойчивости и устойчивости уравнения вида (3.19.1) полностью
переносятся на наш случай.
Пример 1. Рассмотрим уравнение Матье
-ё (а -{- 3 cos t) А' = 0 (а > 0, | р ] sg: а).
Здесь
р (t) = а + 3 cos t и <?>¦= 2г..
Следовательно,
со 2т¦
О) j р (t) dt - 2- J (а + Э cos t) dt - 4л2а.
о о
Отсюда в силу признака Ляпунова область устойчивости (рис. 25)
характеризуется неравенствами
| 3 i <* И 0<ass4r.
Более подробно этот вопрос разобран у Стокера (см. [31 ]), где построена
область устойчивости, полученная численным методом.
Отметим, что наличие неравенства 0 (t) ^ оо,
где аи^ - положительные постоянные, . не гарантирует ограниченности
решений уравнения (3.19.1).
Пример 2. Пусть
где
X-{-p(t)x = 0,
!а2 при 0 с t с с,
З2 При С < t < О) (а > 0> 3:> 0)
(3.19.19)
(3.19.20)
и р (t -f- а>) = р (t) (рис. 26). Под решениями х = x(t)
дифференциального уравнения (3.19.19) будем понимать функции класса С1 (-
со, + со), удов-
y-p(t)
О Л 2Л ЗЛ Рис. 26.
летворяющие этому уравнению всюду, за исключением, быть может, точек
разрыва Ы, Ы-{-с (k - 0, + 1, ±2, ...) коэффициента p(t).
206
ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
[171. Ill
Заменим уравнение (3.19.19) системой
dx
dt=y'
dy_
dt
= -p(t) x,
и пусть X(t)-нормированная фундаментальная матрица такая, что Х(0)=Е. На
основании (3.19.20), используя прием, примененный в § 18, имеем
X(t) =
COS at - sin at
a
- a sin at COS at -
при O^tzSc
X(t):
Г A cbs Э (t - с) -f- В sin p (t - с) С cos f5 ( t - c) -f- D sin p (t
- c)'
~ I - ДЗ si
I sin 3 (t - c) -J- 5p cos p (t - с) -C6 sin p (t - c) + 5p cos p (t
- c) j при с t ^ CO.
Отсюда из требования непрерывности при t = c матрицы X(t) находим А = cos
ас, В - - sin ас,
г 1 • п 1
С = - Sin ас, и = ~тг cos ас. а р
Таким образом, матрица монодромии имеет вид
(X
COS ас COS р (со - с) - -j- sin.ac sin Р (со - с)
_- р COS ас sin р (со - с) - a sin ас COS р (со - с)
-i- sin ас cos Р (со - с) + cos ас sin 3 (со - с)
X (со) =
sin ас sin Р (со - с) -f- COS ас COS 3 (со - с)
Следовательно, константа Ляпунова для уравнения (3.19.19) есть
as -1- Ва
а = Sp X (со) = 2 cos ас cos р (со - с)-^- sin ас sin р (со - с).
(3.19.21)
Очевидно,
а*+р*
ар
: 2.
Отсюда следует, что уравнение (3.19.19), коэффициент которого р (t)
положителен, может быть как устойчивым, так и неустойчивым. Полагая,
например, а = и Р = ~----------
, будем иметь а = 0 и, следовательно,
§ 19] УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 207
уравнение (3.19.19) устойчиво. Если жеа = ^ и р = ^-т-Л-г, то при сф~
ZC Z (СО - С) 4
т. е. при а ф 3, получим
и, таким образом, уравнение (3.19.19) неустойчиво.
Замечание. Н. Е. Жуковский доказал, что постоянную-4 в признаке Ляпунова
(3.19.16) нельзя заменить большей, т. е. в этом смысле она является
наилучшей. Приведем простой пример системы вида (3.19.1) с кусочно-
постоянным коэффициентом, иллюстрирующий это обстоятельство, идея
которого принадлежит Н. П. Купцову.
Пример 3. Пусть 5-произвольно малое положительное число (0<!< 1). В ш-
периодическом уравнении
x-\-p(t)x = О (3.19.22)
положим
п (t) = а1 = - при 0 <С t С
п
р (t) = З2 = -------------- при с <t < О).
СО (со ------ с)
Очевидно, имеем
to С со
to \ р It) dt = ш Г \ - dt 4- V --------г dt =4-|-5.
У L ' J ш(о) - с) J ^
0 О с
Покажем, что при достаточно малом 5 и надлежащем выборе параметра
с
уравнение (3.19.22) неустойчиво. Для этого достаточно убедиться, что
соответствующая константа Ляпунова а [см. (3.19.21)] удовлетворяет
неравенству
: а \ > 2.
Действительно, положим
° = Тб
Тогда
У<лс ' Г ш(ш -с)
...............Тб
и, следовательно,
ас
Отсюда
V1-
= уК"~, р(ш_с)=|ЛГ |Л-А.
' - х + - х (1 " tr) +x(1-1и/
^2 + о (5)j при 8 -> 0.
208
ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
[ГЛ. И!
Используя известные асимптотические разложения тригонометрических
функций:
cos х - 1 - ^ + о (л-2), sin х = л: ^ 1 - j + о (xz) при х -* О,
