Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
на окружности |г| = 1 (lmz = 0), обозначим, соответственно,
через т и 8. Если какие-нибудь из указанных корней отсутствуют, то мы
условно считаем, что кратность их равна нулю. Отсюда разложение
многочлена / (г) на множители будет иметь вид
*[-
Таким образом, -~ = zt ZS
У,
JA * 1-
\ 0 1/ •*
--
{~zs
Рис. 27.
f(z) = a0(z - z1) 1 ... (г - гт)
1
1 \р"
где
'(2-1)1 (2+1)#> "] "Ь • • • "Ь ат Pi "Ь • • • "Ь Pm Т ^ = га-
(3.21.6)
(3.21.7)
') Го есть кратность корня г = -1 четная, если п четно, и нечетная, если
п нечетно.
ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА - ПУАНКАРЕ
213
Так как полином f (г) возвратный, то в силу тождества (3.21.3) имеем
В силу свойства единственности разложения (3.21.6) и (3.21.8) должны
совпадать между собой; поэтому
Лемма доказана.
Следствие. Если возвратное уравнение четной степени имеет корень z - 1
или корень z - - 1, то эти корни четной кратности.
§ 22. Теорема Ляпунова-Пуанкаре
Теорема Ляпунова-Пуанкаре. Если матрица A{t) линейной гамильтоновой
системы
где X (ш) - матрица монодромии, является возвратным.
Доказательство. Приведем простое доказательство теоремы, принадлежащее
Гельфанду и Лидскому (см. [34]).
На основании леммы и замечания к ней (§ 20) для фундаментальной матрицы X
(t) (X (0) = Е) справедливо соотношение
/(2) = 2"/ (j
•• ¦ ( 2m)
j 1
Pl="l..... K = am
и г четно.
Кроме того, из соотношения (3.21.7) получаем 8 = п (mod 2) *).
(3.22.1)
<о-периодическая, то характеристическое уравнение / (р) = det [рЕ - X
(ш)) = 0,
(3.22.2)
XT(t) JX (i) - С.
Полагая ( = 0 и учитывая, что Хг(0) = Х (0) - Е, получим
C = J.
*) То есть разность п - 8 делится без остатка на 2,
214 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
Таким образом,
[ГЛ. ш
и, следовательно, В частности,
XT{t)JX (t) = J
XT(t) = JX~' (t) Г
Xr(u>)=
Отсюда, учитывая, что
det J = det / 1 = 1,
при p Ф О имеем
f (т) = det \т E~X W = j- det [? - p X ("")]
P
= p4- det [E - PXr("))] det [JEJ~l - eJX~l (<o) У-1] =
= det J ¦ det - pX 1 (u>)] • det =
= ps det X-1 (">) • det [p? - X (">)].
Ho
det X (u>) = det X (0) • exp § Sp JA (t) dt- 1,
о
поэтому
det X'1 (u>) = 1.
Таким образом,
ptnf{y) = f(p) (3.22.3)
и, значит (§ 21), характеристическое уравнение (3.22.2) является
возвратным.
Следствие 1. Для гамильтоновой системы (3.22.1) мультипликаторы рs и - (j
р* | ^ 1) имеют одинаковую кратность.
Р S
Следствие 2. Если характеристическое уравнение (3.22.2) имеет корень р =
1 или р = - 1, то эти корни четной кратности.
Из теоремы Ляпунова-Пуанкаре вытекает, что гамильтонова линейная система
не может быть асимптотически устойчивой (§ 15).
Теорема. Линейная гамильтонова система с периодическими коэффициентами
устойчива тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы р,
расположены на единичной окружности | р j = 1 и имеют простые
элементарные делители.
§ 23]
НЕОДНОРОДНАЯ ПЕРИОДИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
215
Рассмотрим систему (см. [29]):
g+B(Dx=о,
(3.22.4)
где В (t) - (/г X/0'матРиц'а периодическая и симметрическая: B(t-\-io) =
B(t), BT{t) = B{t) ("о > 0). Запишем матричное уравнение (3.22.4) в виде
системы:
dx
dt У'
dy
It
= -В (t)x,
(3.22.5)
или
где
d
dt
X
У J
= JA (t)
x
У
/4(0 =
в (о о
о Еп
Так как матрица A (t) симметрическая, т. е. Ат(t) = A (t), имеем теорему:
характеристическое уравнение для периодической системы (3.22.5)
возвратное.
§ 23. Неоднородная периодическая система Пусть
% = A{t)y+f{t), (3.23.1)
где А (0 и /(0 - непрерывные (п X п)- и (п X 1)- матрицы с общим периодом
ш >>0).
Теорема 1. Если однородная периодическая система
sj Y
~ = A(t)x (3.23.2)
не имеет нетривиальных ш-периодических решений, т. е. все мультипликаторы
ее отличны от единицы (рj Ф 1), то соответствующая неоднородная
периодическая система имеет единственное периодическое решение периода ш.
Доказательство (см. [29]). Используя метод Лагранжа, из уравнения
(3.23.1) имеем
y(t) = X (t)y (0) + j X (0 X-1 (т)/(т) d*, (3.23.3)
о
216 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА Г ГЛ. III
где X (t)- нормированная при t = 0 фундаментальная матрица однородной
системы (3,23.2). В силу теоремы единственности решение у (t) будет "i-
периодическим тогда и только тогда, когда
у (со) =у (0).
Отсюда на основании формулы (3,23,3) для w-периодического решения у (t)
будем иметь
О)
у(0) = х (<*)у (0) + х (о.) J х 1 (0/(0 at,
0
ИЛИ
О)
[?-X(a.)]^(0) = X(a.)JX-1(0/(0 dt. (3.23,4)
о
Так как в силу условия теоремы вековое уравнение
det [рЕ - X (ш)] - 0 не имеет корня р = 1, то
det [Е - X (ш)] ф 0 и, следовательно, существует
[Е-ХНГ1.
Таким образом, получаем
со
>(0) = [Я-Х(")Г1 Х("о) J X'1 (0/(0 dt.
о
На основании формулы (3.23.3) находим периодическое решение
? СО
у (0 = х (0 [Е - X (о.)]-! {5 X"1 (-с)/(т) dx + X (u>) 5 X"1 (г)/(г) dx\,
о t
(3.23,5)
То, что ш-периодическое решение ш единственно, вытекает из того
обстоятельства, что разность двух различных ш-пернодиче-ских решений
неоднородного уравнения (3,23.1) является нетривиальным ш-периодическим
решением однородного уравнения (3.23.2), а последнее в нашем случае
