Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
(3.23.1) имеет ограниченное решение у) (t) (t S; 0), то у этой системы
существует to-периодическое решение.
Доказательство. Используя метод вариации произвольной постоянной,
ограниченное решение у (t) неоднородной системы
(3.23.1) можно представить в следующем виде:
у (0 = х (0 >>" + i X (t) X-1 (-О/Ос) dx,
о
где Уо~У((r)) и X (t) (X(t)~E) -нормированная фундаментальная матрица
однородной системы (3.23.2). Отсюда
у (to) = х (to)j>0 -1- (3.23.15)
где
со
Ь=]Х(а)Х~1 ('c)Z('c) dx.
о
Так как ввиду периодичности системы (3.23.1) у (t-\- to) есть также
решение этой системы, то, используя начальное условие
9(t + u) \t=0=$(a),
будем иметь
у (20.) = X (to)у> (to) + ь = X2 (to)?0 + [X (to) + Е) Ь или, в более
общем виде,
m-1
>> (mto) = Хт (to) _р0 -и 2 Xft (to) b
(m= 1, 2, ...). (3.23.16)
Пусть система (3.23.1) не имеет to-периодического решения. Тогда линейная
алгебраическая система
[? - Х{ш)}уй = Ь, (3.23.17)
реализующая условие периодичности, несовместна и, в частности,
det [Е - X (to)] =0.
Отсюда в силу известной теоремы алгебры выводим, что существует ненулевой
вектор с, являющийся решением сопряженной алгебраической системы
[? -Х(<о)]*с = 0, (3.23.18)
222 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. UI
причем этот вектор не ортогонален к правой части системы
(3.23.17), т. е.
(Ь, с)Ф 0. (3.23.19)
Из уравнения (3.23.18) получаем
С=[Х((о)]*С
и, значит,
c=[Xk(o>)}*c (k - 0, 1, 2, ...). (3.23.20)
Умножая равенство (3.23.16) справа на с, будем иметь
т~ 1
(у (т ш), с) = (Хт(ш)у0, с) -f J] (Х*(м) Ь, с).
*=0
Отсюда, учитывая соотношение (3.23.20), находим
ОТ -1
(у (пт), с) = (уо, | Хт ("")] * с) + 2 (&> И] * с)
•V |
= (у0, С) + тФ> С)-*СО при /77-"-ЭЭ,
что противоречит ограниченности решения $(?).
Следовательно, в наших условиях система (3.23.17) совместна и, таким
образом, существует по меньшей мере одно "-периодическое решение
неоднородной системы (3.23.1).
Следствие. Если неоднородная линейная ^-периодическая система не имеет
ю-периодических решений, то все решения этой
системы не ограничены как на полуоси t'^0, так и на полуоси
0.
§ 24. Метод малого параметра
Рассмотрим слабо нелинейную (квазилинейную) периодическую* систему
Yt = А Ш +/(*) + ЦФ (t, у), (3.24.1)
где A (t) и f(t) - ю-периодмчны,
Ф(Л ЖС#1'. Ф(* + "" 30 = ф(*, У)
и ц - малый параметр, причем при [а = 0 система (3.24.1) совпа* дает с
линейной системой (порождающей системой):
§ = Л(0* + /(0. (3-24.2).
МЕТОД МАЛОГО ПАРАМЕТРА
22,3
Для доказательства существования ("-периодических решений нелинейной
системы (3.24.1) изложим принадлежащий Пуанкаре "метод малого параметра"
(см. [35], [14], [36]).
Теорема. Если все мультипликаторы однородной системы
(3.24.2) отличны от единицы, то при достаточно малых \ [х j нелинейная
система (3.24.1) имеет единственное <"-периодическое решение у (t, |л)
такое, что
lim_y (t, p)=y0(t), (3.24.3)
где у о (t) - ")-периодическое решение порождающей системы (3.24.2).
Доказательство. Обозначим через у (it; щ, ре-
шение системы (3.24.1), определяемое начальным условием:
_У(°> Л" !А) = Т1- (3.24.4)
Так как правая часть системы (3.24.1) ("-периодична по < и удовлетворяет
условиям единственности решений, то для существования w-периодического
решения этой системы необходимо и достаточно, чтобы для некоторого т]
было бы обеспечено условие:
ф(1], fi) = у(ч>; т|, ц)-_у(0; т|, ц)=_у(<"; rj, и.) - т] = 0. (3.24.5)
Пусть периодическое решение _у0 (0 порождающей системы
(3.24.2), которое существует в силу теоремы § 23, определяется начальным
условием: у0(^) = т]0. Тогда имеем
Ф(т]0, 0) = 0.
Из теории неявных функций известно, что (см. [7]) для того, чтобы
уравнение (3.24.5) имело единственное непрерывное решение в окрестности
точки т| = т|0, |л = 0, достаточно, чтобы определитель Якоби
'^1 __.Г Д(ф..
У*1У_1л = Чо L Di-q"
-[
det
|х = П
где ц=(ъ, ••• , ты) и
Ф(Л. f*)= Гф1 (Ч, ц),
Отсюда, полагая, что
ф"Сп. (*)]•
y(t; ц, |jl) =
уЛ*\ л. р)
yn(t\ % ц).
получаем ^ = j^det
<?Г)
L
. . =Ло ^=0
¦"/*] =
det LV^(o); т|0, 0) - Е]. (3.24.7)
224 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. II!
Из теории дифференциальных уравнений следует (см. [9], [10], [11]), что
решение у (t; t), jx) имеет непрерывные частные производные по начальным
данным т). Введя обозначения
Z = yn{t; ч, Ю=(^)
и дифференцируя по i] систему (3.24.1), будем иметь
ал*
или
Отсюда при [х = 0 получаем
§=A(t)Z.
Кроме того, при ^ = 0 имеем
уф; n, t*) = n.
поэтому
Z (О) - Е.
Таким образом, Z = Z(t; t), 0) является нормированной фундаментальной
матрицей однородной системы (3.24.2) и интересующий нас якобиан имеет вид
Д = det [Z К т]о, 0) - Е].
Так как для однородной системы (3.24.2) ее мультипликаторы Pjjt 1, то для
векового уравнения
det [Z (ш; i], 0) - р?] = 0 число р=1 не является корнем. Поэтому
Д ф 0
и, следовательно, нелинейная система (3.24.1) при | [х | <^[х0 имеет
единственное ш-периодическое решение y(t, ji), непрерывное по параметру ц
и такое, что у (t, jj<)-+y0(t) при |а-*0.
