Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Демидович Б.П. -> "Лекции по математической теории устойчивости" -> 59

Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости — М.:Наука, 1967. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematicheskoyteoriiustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 121 >> Следующая

у") системы (4.1.1) с начальными условиями: У ih\ *о, У о) =Уо- В этой
главе мы ограничимся рассмотрением лишь действительных решений.
Пусть т] = т](0 со; t0^>a)- решение системы (4.1.1)
(,невозмущенное движение), устойчивость которого требуется исследовать,
причем //-окрестность этого решения такова, что UH('i\(t))CL CG при t
?=[*", со), где
ин МО) = {t0^t<co, \\у - т] (t) || < Н "S со}.
Положим
x=y - r\(t), (4.1.2)
т. е. х есть отклонение решения у от решения t](0. Так как
i\(t)= Y(t, -П (/)), то для х получаем дифференциальное уравнение
§ = X(t,x), (4.1.3)
где
X(t, x) = [Y(t, х n<0) - Y(t, л (0)1 ? C"' (Z),
Z = {a</<oo, || x || <//},
причем, очевидно,
X(t, 0) = 0.
ЗНЛКООПРЕДЕЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
235
Следовательно, система (4.1.3) имеет тривиальное решение л: = 0, которое
в пространстве соответствует данному решению
il = Tl(^) (рис. 28, а и б). Систему (4.1.3) будем называть приведенной
(по Ляпунову она называется системой уравнений возмущенного движения).
Таким образом, исследование устойчивости решения t| = tj(^) в
пространстве гМпу сводится к исследованию устойчивости тривиального
решения (положения равновесия) л: = 0 в пространстве (Мпх.
§ 2. Знакоопределенные функции
Рассмотрим функцию
V = V (t, х) Си (Z0),
где Z0 = {a<^t<i оо, \\x\\<^h}.
Введем основные определения о знакопостоянных и знакоопределенных
функциях (см. [13], [14]).
Определение 1. Действительная непрерывная скалярная функция V (t, х)
называется знакопостоянной (знакоположительной или знакоотрицательной) в
Z0, если
V (t, x)^s 0 (или jc)<gO)
при (t, х) Z0.
Определение 2. Функция V (t, х) называется положительно определенной
(определенно положительной) в Z0, если существует скалярная функция W (х)
С (Ц х || <^h) такая, что
V (t, х) W (х) > 0 при j] jc |! ^ 0, (4.2.1)
V (г, 0) = № (0)==0.
236 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА ПЛ. IV
Аналогично функция V (t, х) называется отрицательно определенной
(определенно отрицательной) в Z0; если найдется W (х) ? С( !| х || <^h)
такая, что
V(t,x)^ - W (л:) 0 при || д: 1=^0
и
V (/, 0) = W (0) = 0.
Положительно или отрицательно определенная функция называется
знакоопределенной.
В качестве W (х) иногда можно брать
W (х)- inf | V (t, х) .
/
В частности, V = V (х) есть знакоопределенная функция, если
(-1)° V(х) 0 при х I! 9^ 0 и V (0) = 0, где для положительно
определенной функции а = 0, а для отрицательно определенной функции а=\.
Пример 1. В действительном пространстве ^'2 = Оху функция
V=xs-\-y2- 2axycos t (4.2.2)
при ¦ а | < 1 является положительно определенной, так как
V it, х, у) х2 -{-у2 - 2 I а : ! х \ \ у ! >;
(1 - | st j ) (X2 +У0 = W (X, у) > О
при х2-]~у'2> 0; V - 0 при х=у = 0.
При I a i = 1 функция V лишь знакоположительна.
Рис. 29. Нетрудно дать геометрическую ил-
люстрацию знакоопределенной функции
V (t, х). Пусть V (t, х) --положительно определенная функция такая,
что
V {t, x)SsW (х),
где № (х)> 0 при х 9= 0 и W (0) = 0. Предположим, что поверхности уровня
W(x) = C (С 2*0)
в пространстве Охх, ... , хп представляют собой семейство непрерывных
замкнутых поверхностей, окружающих начало координат О и монотонно
расширяющихся при росте параметра С (рис. 29). Тогда, очевидно, каждая
поверхность уровня
V (t, x) = Ci
для любого значения параметра t будет целиком расположена внутри
соответствующей поверхности W (х') = С1ш
ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА
237
Определение 3. Говорят, что функция V(t, х) имеет бесконечно малый высший
предел при (см. [13], [14]), если
при некотором ta^>a имеем
I7 (f. х) О
i
на [?0, со) при х -> 0, т. е. для любого е О существует 8 = 8 (е) О
такое, что
\V (I, а:) ! <s (4.2.3)
при и I
В силу неравенства (4.2.3) заключаем, что функция V (t, х), допускающая
бесконечно малый высший предел при ;с->0, ограничена в некотором
полуцилиндре
\\x:\<^h.
Отметим, что если V (х) - непрерывная функция, не зависящая от времени t
и такая, что ^(О)-О, то, очевидно, V (х) допускает бесконечно малый
высший предел при лс->0.
Пример 2. Функция (4.2.2) при ] а | < 1 допускает бесконечно малый высший
предел, когда
г = [/V+y - 0.
Функция
1/= sin2 [t (л-f + Л'| +... -f х%)]
не допускает бесконечно малого высшего предела при || х ! = = l^A'f ++ •
• • + х'п "'О, несмотря на то, что эта функция ограничена ii
V -> О при х - • (I.
§ 3. Первая теорема Ляпунова (теорема об устойчивости)
Пусть X(t,x)?Ct°S'(Z), Z = {а<f<со, [\х\|<Я} и
§ = X(t,x), (4.3.1)
есть приведенная система, т. е.
X (t, 0) = о,
очевидно, допускающая тривиальное решение: | = С.
Положим
V = V (t, х) C'tx1 (Z0)
(Z0 = {a<^<со; ^x\\^h<^H\ClZ)
и
X = X(t, л;) = colon [ХА(/, л:), ... , Xn(t, х)].
238 ВТОРОЙ МЕТОП ЛЯПУНОВА (ГЛ. IV
Функцию
п
V (L X) = ~-+Ji Ъ7,х/"> х)=Ж+<&^ ^ X) (4.3.2)
./=1
называют производной (полной) по времени t функции V (t, х) в силу
системы (4.3.1).
Если х = х (/) есть решение системы (4.3.1), то V (t, х) представляет
собой полную производную по времени t сложной функции V (t, х (t)), т. е.
V(t,x) = ^V(t, x(t)).
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed