Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Демидович Б.П. -> "Лекции по математической теории устойчивости" -> 50

Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости — М.:Наука, 1967. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematicheskoyteoriiustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 121 >> Следующая

тогда
|М*|!<М (k - 0, 1, ... , т- 1).
Из формулы (3.18.6) при t [0, ш] находим
II Xh (t)!; ?sceh :i A>- ; ¦ е' 1 '4*-1 i! ... eh',Л" п ^ehmM = етМ.
Так как матрица Л (t) С [0, си], то для каждого s^>0 существует s 0
такое, что
Г; Л (Г) _л (ОНО,
если f, t" ? [0, <о] и \i' I"! < 8. Отсюда при h <^8 и t ? [0, <в] будем
иметь
(О-Л (0 последовательно, ич формулы (3.18.8) получаем
!! Х" (t) - X (/} : <.еа.^ + (/и |j Х" (tx) - X ft) || dtx.
о
Применяя лемму Грогтуолла- Беллмана (гл. II, § 11), получим А',, (/)- X
(I) || sg; ешеа>м+ш при Osg^^cu
и, следовательно,
ij Xh (") - X (") || < Е(ие2шЛ1, (3.18.9)
если 0 -<| h 8 (е).
Так как число е>0 может быть взято произвольно малым, то из неравенства
(3.18.9) будем иметь
iiin А',, (си)- А (си) || = 0, л -о
т. е.
lim Xh (со) = X (си). (3.18.10)
л - о
Рассмотрим характеристические уравнения det [X (си) - р?] =0
и
det [Xh (си) - р?] =0, (3.18.11)
УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
197
и пусть ру, р f(h) (/ = 1, ... , п) - соответственно, корни этих
уравнений. Так как корни р;- (h) являются непрерывными функциями
параметра h, то в силу соотношения (3.18.10) имеем
lim Ру(h) = ру (/= 1, ..., п). (3.18.12)
ft -у о
Таким образом, выбрав h достаточно малым, из уравнения
(3.18.11) можно определить мультипликаторы ру с любой степенью точности.
§ 19. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с
периодическими коэффициентами
Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение
z-\~a(t)z-\-b(t)z = 0,
где a(t)?Cl(- оо, +оо), b(t)^C(-оо, + оо) и
a(t-{-o>) = a(t), b (t -f- w) = b (t) (w>0).
Полагая
будем иметь где
-4-S
а (.9) ds
p(t) = b (t)
и
z = e u x, jc-f- p (t) x= 0,
.^L_mGC(-oo, +oo)
p (t + u>) = p (t).
(3.19.1)
Для исследования устойчивости приведенного уравнения
(3.19.1) заменим его эквивалентной системой
матрица которой есть
Заметим, что
dx
~dt У'
dv ,
-ЗГ = -Р(r)Х,
Г 0 1
Рт=[-рт
Sp P(t) = 0.
(3.19.2)
198
ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
1 ГЛ. Ill
Будем говорить, что уравнение (3.19.1) устойчиво или неустойчиво, если
устойчива или, соответственно, неустойчива система
(3.19.2). Таким образом, все решения x(t) устойчивого уравнения
(3.19.1) ограничены на [t", оо) вместе с их производными x(t).
Из теории Флоке следует (см. § 17, пример), что если решение x(t)
уравнения (3.19.1) ограничено на [^0, со), то его производная x(t) также
ограничена на |70, оо). Таким образом, уравнение (3..19.1) неустойчиво
только в том случае, если оно имеет неограниченные на [/о, со) решения.
Построим фундаментальную матрицу решений
X(t):

<но
"КО
Ф (О J
где <р (t) и ф(0~ линейно независимые решения уравнения (3.19.1)г
удовлетворяющие начальным условиям:
(f(0): Ф(0) =
1.
Ф (0) =0 ф(0)=1.
(3.19.3)
(3.19.4)
Следуя Ляпунову, решения <p(t) и ф(/) можно получить в виде
сходящихся рядов. Действительно, вводя в уравнение (3.19.1)
числовой параметр ;л (см. [13]), будем иметь
Jc = (i.p(t)x, (3.19.5)
где в окончательном результате следует положить |а =-1. Пусть решение
уравнения (3.19.5) имеет вид
СО
<Р(*. p)=i;<p*(0l** (ЗЛ9.6)
*=о
Подставляя это выражение в дифференциальное уравнение (3.19.3) и
предполагая возможность двукратного почленного дифференцирования, получим
СО ОО
(9 р*=2р(0"р*(9^+1.
А - 0 к -0
Отсюда
и
То (0 = 0
h(0 = P(0?"-i(t) (Ь =1,2,...).
(3.19.7)
(3.19.8)
6j 19! УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА 199
Введем начальные условия:
ср0(0)=1,- ф0(0) = 0
9/г (0) = ъ (0) = 0 при &3=1;
тогда начальные условия (3.19.3) для функции cp(t) = cp(t, -1) ла
основании (3.19.6), очевидно, будут выполнены. Из уравнений (3.19.7) и
(3.19.8) находим
ср0(0=1
и
t tl
Tft (0 = \ dti § Р Vi) Tft-i (ti) dti (& 1 )•
о о
Последний интеграл можно заменить однократным. Действительно, меняя
порядок интегрирования в этом интеграле, будем иметь
t t t
4k(t) = \dti\i р (ti) (ti) dti = ^ (t- tt) p(ti)'fk_l(ti)dti =
0 ti 0
= i(t-tl)p(tl)9k"l(tl)dtl. (3.19.9)
о
Итак,
?(t, li) = l+!i§(^- +
o
+ V* i (t ~ h) P (U) dtx j (f, - ti) p (ti) du + ... (3.19.10)
о о
Исследуем сходимость ряда (3.19.10). Пусть |p(<)|sg/W при -оо t -f- оо.
На основании формулы (3.19.9), учитывая, что ср0 (t) = 1 при любом t(z(-
00 > ~Ь°°)> последовательно имеем
200 ПЕРВЫЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА 1 ГЛ. ИГ
Таким образом, функциональный ряд (3.19.10) мажорируется рядом
который сходится для любой системы значений (ц, /). В l лу признака
Вейерштрасса ряд (3.19.10) сходится абсолютно и равномерно в любой
конечной области G {| ц|<С\t\<^T}. Легко также убедиться, что ряды,
полученные в результате почленного дифференцирования ряда (3.19.10) по
переменной t, также абсолютно и равномерно сходятся в любой конечной
области G. Следовательно, сумма ср (t,\[а) ряда (3.19.10) представляет
собой решение дифференциального уравнения (3.19.5).
Полагая |х = -1, получим окончательно
t t ti
<Р (0 = 1 (tl) dtx + 5 (/_/,) P (/,) dtx \ (h - t,) p (t,)dU -
f...
0 0 0
(- oo<^t<^-\-oo). (3.19.11)
Аналогично для дифференциального уравнения (3.19.5) строится второе
Предыдущая << 1 .. 44 45 46 47 48 49 < 50 > 51 52 53 54 55 56 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed