Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
удовлетворяет неравенству
•*¦(/) ' \0>( | при /0==?t'<oo,
(4.4.3)
где В - положительная постоянная, т. е. траектория этого решения остается
вне сферы радиуса @ (рис. 32).
В самом деле, если это так, то найдется последовательность ?!, ?а,4, ¦¦¦-
>- +00') такая, что
lim х (tk) = 0.
&->оэ
Отсюда в силу существования бесконечно малого высшего предела функции V
(t, х) при л;-* 0 имеем
lim и (/*) = lim V (tk, х (tk)) = 0.
k-"со k-"со
Если бы -> Т <С оо, то
lim х (th) = х (Т) =0.
k~*co
Отсюда в силу теоремы единственности получим х (t) = 0, что противоречит
нашему предположению.
242 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. IV
А это противоречит при а^>0 формуле (4.4.2), так как если а есть предел
функции v (t) при /->-]-оо, то для любой последовательности оо должно
быть выполнено условие v (tk) -> а.
Итак, в случае а^>0 имеет место неравенство (4.4.3) и, кроме того, можно
предполагать, что \\х (t)'i^h<^H (в силу устойчивости тривиального
решения | = 0).
Пусть Wi (х) - непрерывная положительно определенная функция,
удовлетворяющая неравенству
Ф (t) = V(t, х) < - Wi (х). (4.4.4)
Такая функция существует, так как согласно условию теоремы
V (t, х) - отрицательно определенная функция..
Введем обозначение:
1'= inf №i(jc)>0. (4.4.5)
13 =s ii л ii
Тогда, интегрируя неравенство (4.4.4) в пределах от до t
и учитывая, что р sg jj X (т)![ sc: h при /о=^т=^, будем иметь
t t
v(l) = v(U)-f J V (т, x ('*)) dt (t0) - \W! (т) d~,
to to
или, так как
- W, (x) sg - т при (3 sg; || jc ||
TO
t
и (/) и (/") -¦ $ ifdx = V (t0) - J (t - /"). (4.4.6)
trj
Из неравенства (4.4.6) получаем, что при t достаточно большом v\t) = V{t,
x(t))<О,
что противоречит положительности функции V (t, х).
Итак,
о= lim V (t, x(t)) = 0. (4.4.7)
t->ОО
Покажем теперь, что jc(/)-^0 при t-+~ со. Действительно, пусть е^>0
произвольно мало и
/= inf W (д:)^>0 при г : х h. (4.4.8)
Из формулы (4.4.7) следует, что существует момент T^>t0 такой, что
У(7, х(Т) )</.
§ i; ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА 243
Отсюда в силу монотонного убывания функции V (х, x(t)) получаем
V{t, дг(/))</ при t^T (4.4.9)
и. следовательно,
!*(У) ii <С(r) ПРИ (4.4.10)
Действительно, если для некоторого момента ty^>T выполняется
противоположное неравенство
то, учитывая формулы (4.4.9) и (4.4.8), мы имели бы
l>V(tu xit^^W {x{U))^l,
чю, очевидно, невозможно.
Итак, на основании неравенства (4.4.10) имеем
lim л; (t) = 0,
t-* со
что и требовалось доказать.
Следствие 1. В условиях второй теоремы Ляпунова множество jj л: || eg h <
Н оо принадлежит области притяжения тривиального решения | = 0.
Следствие 2. Если для линейной однородной системы
§ = А(1)х
существует положительно определенная функция V (/, х), удовлетворяющая
условиям второй теоремы Ляпунова, то каждое решение этой системы
асимптотически устойчиво в целом. Пример. Пусть
v= v( дг,...хп)
- положительно определенная функция класса С2 такая, что К(0) =
~ av, " " дхп - x - л").
Рассмотрим систему уравнений (см. [13])
dxx dV
dt ~~ дхх ' (4.4.11)
dx п dV
dt дхп '
имеющую, очевидно, тривиальное решение: х1=0,..., х"=0.
Принимая V за функцию Ляпунова для производной V по t, в силу системы
(4.4.11) получим такое выражение:
, , fdV\i
244
ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
II Л- IV
Следовательно в силу теоремы из § 3 тривиальное решение jc = 0 системы
(4.4.11) устойчиво по Ляпунову при оо.
Устойчивость будет асимптотической, если V представляет собой
отрицательно определенную функцию. Для этого необходимо и достаточно,
чтобы система
-^ = 0 дх, ' ' дхп
имела единственное нулевое решение лг, =0,..., хге = 0 в некоторой
окрестности ]]дс|]<Л. На основании теории неявных функций для этого
достаточно, чтобы гессиан
был отличен от нуля в точке О-
§ 5. Третья теорема Ляпунова (теорема о неустойчивости)
Теорема 3 (третья теорема Ляпунова). Пусть для приведенной системы
(4.3.1) су шествует функция V (t, х) ? С^> (Z0), допускающая бесконечно
малый высший предел при х 0 и обладающая знакоопределенной производной V
(t, х) по t в силу системы. Если при некотором t0^>a в любой окрестности
||л:!|<^Д (A h //) найдется точка (tQ, х0), для которой знак функции
V одинаков со знаком производной V, т. е. такая, что
V (t0, х0) V (t0, ха)>0, (4.5.1)
то тривиальное решение 1 = 0 системы (4.3.1) неустойчиво в
смысле Ляпунова при t^ со.
Доказательство. Пусть для определенности V (t, х) - положительно
определенная функция, т. е.
V(t, x)^Wl(x)'>0 (4.5.2)
при t0^t<^ со и 0<^ || х Н <^h, где W'i(Jt)- непрерывная
знакоположительная функция. Так как в силу условия теоремы функция V (t,
х) допускает бесконечно малый высший предел при лг-^-0, то V (t, л:)
ограничена в достаточно узком цилиндре, т. е.
\V(t, jc)|ssM, (4.5.3)
при tnmt<^oo, || х i| А0 <^h, где М и Д0 - некоторые положительные числа.
Пусть 8>0 (S<^A0) произвольно мало. В силу условия теоремы существует
точка (t0, х0), где 0 jc" такая, что
§ 5) ТРЕТЬЯ ТЕОРЕМА ЛЯПУНОВА 245
Положим
v(t) = V (t, х (t)),
где x(t)^ 0 - решение, определяемое начальным условием: X (**) = х0,
