Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
причем
О < хп (t0) i| < 3. (4.5.4)
В силу неравенства (4.5.2) функция v (t) монотонно возрастает вместе с t,
и, следовательно, при t^t0 имеем
V(t, x(t))^V(t, x(t0)) = a> 0. (4.5.5)
Покажем, что при некотором значении t = tx (t\^>to) будет выполнено
неравенство
i|*(*i)ll>V (4.5.6)
Действительно, пусть j| jr (*)|| ^; Д" при тогда решение
x(t) бесконечно продолжаемо вправо.Так как функция V (t, х) имеет
бесконечно малый высший предел при *->-0, то из неравенства (4.5.5) на
основании рассуждений, приведенных при доказательстве второй теоремы
Ляпунова, следует, что
0<р<!|лг(011<До при t0^t<^oo,
где р - некоторое положительное число. Пусть
ini (л:) > 0;
тогда, учитывая неравенство ij х (t) !| Д0, получаем
V (t, x(t))^i при t0^t<^ со.
Следовательно, при to^t<^ со имеем
t
V(t, x(t)) = V(t0, *(*"))+$1/(т, x(z))dz-^V (to,Xo)^[(t~h)r
к
(4.5.7)
что противоречит ограниченности функции V (t, х) в области t0s^t<^CO, i|
X 'I sg; Д0.
Так как §^>0 любое и Ап^>0 фиксировано, то на основании неравенств
(4.5.4) и (4.5.6) заключаем, что тривиальное решение | = 0 неустойчиво по
Ляпунову при t ->- со- (см. гл. II, § 1, определение 3).
Теорема доказана.
Замечание 1. В третьей теореме функция V (t, л:) не обязательно является
знакоопределенной.
Замечание 2. Функции V (t, х), удовлетворяющие условиям первой, второй и
третьей теорем Ляпунова, будем называть соответственно функциями Ляпунова
1-го, 2-го и 3-го рода.
21G
ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
(ГЛ. IV
Следствие. Если для приведенной системы дифференциальных уравнений
существует функция Ляпунова 1 -го или 2-го, или 3-го рода, то тривиальное
решение этой системы, соответственно, устойчиво, асимптотически
устойчиво, неустойчиво по Ляпунову при t -> 4" эо-
§ 6. Теорема Четаева
При формулировке третьей теоремы Ляпунова о неустойчивости (§ 5)
предполагается, что производная V (t, х) в силу системы знакоположительна
в некоторой полной окрестности начала координат О. Однако для
доказательства неустойчивости тривиального решения системы достаточно
обнаружить существование хотя бы одной траектории, исходящей из каждой,
сколь угодно малой, окрестности точки О и выходящей за пределы
фиксированной окрестности. А для этого нет неббходимости рассматривать
полную окрестность начала координат и, следовательно, условия третьей
теоремы Ляпунова можно значительно ослабить. Соответствующее обобщение
было произведено Н. Г. Четаевым (см. [15]).
Теорема Четаева. Пусть для приведенной системы (4.3.1) в области Z =
{t0s^ t <^~ оо, х ¦ существует непрерывно
дифференцируемая функция V (t, х), область положительности которой П =
{V7 (t, х)^>0, (t, jc) ? Z) имеет ненулевое открытое сечение Dt,
примыкающее к началу координат О, для каждого t ? [f0, оо), причем на
части границы области П, лежащей внутри цилиндра Z, включая ось Ot,
выполнено равенство
V(t, х) = 01).
Тогда, если: 1) функция V (t, х) ограничена в области П,
2) имеет в этой области положительную производную V (t, X) в силу
системы (4.3.1), 3) в каждой подобласти {V (t, л:)>га^>0} справедливо
неравенство V (t, л:)2гр^>0, где Е3 = р(а)- некоторое положительное
число, зависящее от положительного числа а, то тривиальное решение
системы (4.3.1) неустойчиво в смысле Ляпунова при t -*¦ оо.
Доказательство. Пусть произвольно мало. Так
как точка О является граничной для открытого сечения Dto = D, то в
гиперплоскости t=ta существует внутренняя точка х0 ? D такая, что 0 <ji
л:0 j! <[8 <[/г, причем V (t0, х0) = т.^>0 (рис. 33).
') В случае положительно определенной функции V(t, х) эта часть границы
для каждого t? |ta, со) сводится к единственной точке О.
§ 6] ТЕОРЕМА ЧЕТАЕВА 247
Докажем, что решение х (t), определяемое начальным условием: x(t0) = x0,
при возрастающем t выйдет за пределы шара IjArji <^h. Действительно,
пусть l| х (t) || <[Л при t^t0. В силу условия 2) теоремы
V (t, *(*))> О при V (t, x(t))^>0;
отсюда при t^t0 получаем
V (t, x(t))^ V (t0, x(t0)) = a, (4.6.1)
если только V (t, x(t))^>0. Так как решение х (t) может покинуть область
П = {У(^, jc) 0}, лишь проходя при некотором ti^>t0 внутреннюю часть
границы, где V (tu jc (^i)) = 0, причем
V (t, x(t))^a^>Q при *0==?*<^ь
то, переходя в этом неравенстве к пределу При t -*¦ - 0, будем
иметь
V (ti, лг(г,))=г*> 0,
что невозможно. Следовательно, решение X (t) при t^t0 целиком лежит в
подобласти {У (t, Ar)S=a^>0} области П. Отсюда, на основании условия
3) теоремы, получим
V(t, *(0)5=Р>0. (4.6.2)
Интегрируя почленно неравенство (4.6.2), при t^t0 будем иметь
У (t. X (t)) =э= V (to, х (to)) + ? (t - *,). (4.6.3)
Последнее неравенство невозможно, так как в силу условия 1) теоремы
функция V (t, х) ограничена в области П.
Итак, в любой 8-окрестности точки О при i = t0 найдется некоторое решение
x(t), покидающее при t-*--|-оо внутренность шара \\x\\<^h. Таким образом,
тривиальное решение | = 0 неустойчиво по Ляпунову (гл. II, § 1).
Теорема доказана.
Замечание. Легко проверить, что для случая Ляпунова (§ 5) при V (t,
