Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Демидович Б.П. -> "Лекции по математической теории устойчивости" -> 63

Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости — М.:Наука, 1967. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematicheskoyteoriiustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 121 >> Следующая

х)~^>0 ввиду наличия бесконечно малого высшего предела функции У (t, х)
множество II = {/, х :V(t, лг)^>0} обладает всеми указанными выше
свойствами.
248
ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА
[ГЛ. IV
§ 7. Асимптотическая устойчивость в целом Рассмотрим приведенную систему
-? = X(t, X) (X(t, 0) = 0), (4.7.1)
где X(t, x)?Cfxl}(ltX^*)H /f={a<^< + oo}.
Определение 1. Говорят, что тривиальное решение | = 0 системы (4.7.1)
асимптотически устойчиво в целом (см. [16]), если: 1) оно асимптотически
устойчиво по Ляпунову и 2) для каждого решения x = x(t\ ta, jСо) (?0 ? ЛО
выполнено условие:
lim л; (t; t0, лг0) = О (4.7.2)
f ->ОО
(т. е. область притяжения представляет собой все пространство Stl (см.
гл. 11, § 1)). Аналогично определяется асимптотическая устойчивость в
целом нетривиального решения I '
Определение 2. Будем говорить, что V (t, х) ? С!&11 (If X^l) допускает
бесконечно большой низший предел при х ->- оо, если
V (t, х)^$оэ при |! jc !i -> оо, (4.7.3)
т. е. для любого М^>О существует R=R(M) такое, что
i V (t, л:)|^>М при t [^о, оо) и
Определение 3. Будем говорить, что V (t, х) Ctx (I t X <&х) допускает в
(М'х сильный бесконечно малый высший предел при л:-^-0, если существует
функция U(x)<^C(g%1) такая, что
\V(t, х)\ ^U(x) (4.7.4)
при (t, x)(^(lt X <&х) и U (0)=0 (ср. § 3, определение 3).
Теорема Барбашина - Красовского (см. [42]). Если для системы (4.7.1)
существует положительно определенная скалярная функция V (t, х) ? С'/х"
(if X <&х), допускающая в <Мпх сильный бесконечно малый высший предел при
х ->- 0 и бесконечно большой низший предел при jr-^эо, причем производная
V (t, х) в силу системы отрицательно определенна в то тривиальное решение
?, = 0 асимптотически устойчиво в целом.
Доказательство. Так как условия этой теоремы, очевидно, включают условия
первой теоремы Ляпунова (§ 3), то тривиальное решение | = 0
устойчиво по Ляпунову при +
Пусть х = х (t\ t0, х.о) - нетривиальное решение системы (4.7.1),
определяемое начальными условиями: х (to, t0, jc0) = jc0^0, где t0 ? If и
х" ? <&1 - произвольно,
tj 7] АСИМПТОТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ В ЦЕЛОМ 249
Обозначим через Кх некоторый компакт (т. е. ограниченное замкнутое
множество пространства e^J), содержащий точку jt:
-?о (Е К х cz
и пусть
Af = supV/(/, jc) на ПХ Кх-
В силу неравенства (4.7.4) имеем
М -f- оо.
Так как функция V (t, х) обладает в <МЛХ бесконечно большим пределом при
х-+оо, то существует шар S {\\-x\\<^R}^> Кх такой, что
V (t, х)^>М при \\x\\^R. (4.7.5)
По условию теоремы вдоль траектории x(t\ t0, х0) выполнено неравенство
V (t, x(t\ t0, х")) < 0;
поэтому при имеем
V (t, X (t\ /0, *<,)) К (t0, л:0) M и, следовательно,
x(t: t0, x,,) </?, '
т. e. все решения системы (4.7.1) ограничены.
Покажем теперь, что
V (t, x(t; t0, а;0))->-0 при t-+cо.
Пусть е^>0 произвольно и г^>0 таково, что функция U (х),. определяемая
формулой (4.7.4), удовлетворяет неравенству
0 U (л:) < е при ij Jt || /\ (4.7.6)
Покажем, что решение x(t; ta, х9) при ?-"¦ +03 обязательно войдет внутрь
замкнутого шара ||Jtj|"g/\
Действительно, допустим, что
0 < л < || л; (/; /0, лг0)||</? при
(рис. 34). Тогда V (t, х), будучи отрицательно определенной, имеет в
области It X {г IIX || ^ R\ отрицательную верхнюю
250 ВТОРОЙ МЕТОД ЛЯПУНОВА [ГЛ. IV
грань - т(Т^>0) и. значит, при t'^t0 справедливо неравенство
V (t, x(t; t0, х0)) sS - if.
Интегрируя это неравенство в пределах от t" до t (t > t0), получим
V (t, х (t; t0, лг0)) "S V (t0, x0) - T(t - t")<i 0, если только
t>t0+YJhL*o)t
что противоречит положительности функции V (t, je), Следовательно,
существует момент T^>t0 такой, что
\\Х(Т; t,,, л:0)||=?sr,
т. е.
U(x(T; t0, х0)) < е.
Отсюда ввиду монотонного убывания функции V (t, х (t; t0, х0)) при t>T
будем иметь
V (t, x(t; t0, Хо))<V(T, х (Т; t0, х0)) s^U(x(Ti t0, лг0))<е
и, таким образом,
ttmV {t, x(t\ to, лг0)) = 0. (4.7.7)
/->со
Из последнего равенства выводим, что
lirnjc^; U, лг0) = 0,
t -+ЭЭ
так как в противном случае существовала бы последовательность x{tk\ to,
JCo) (А=1, 2, tk->oo) такая, что
lim V (tk, х (tk; t^ лг0)) Ф 0,
k-*-co
вопреки равенству (4.7.7).
Теорема доказана.
Замечание. Из доказательства следует, что при условии теоремы Барбашина -
Красовского асимптотическая устойчивость в целом равномерна по л;0 на
любом компакте Кх, т. е. можно гарантировать, что (см. [16])
И*(*; *о, *0)110 при /> I (е, Кх), где хп Кх.
§ 8] ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 25L
§ 8. Экспоненциальная устойчивость
Определение. Тривиальное решение 1 = 0 системы (4.7.1) называется
экспоненциально устойчивым при / -" • о-: (см. [16]), если для каждого
решения x(t) = x{t\ /0, х0) этой системы в некоторой области /о sg t
Я справедливо неравенство
:| X (/) !| sg Л/1! л: (/0) IS - (/=г/0), (4.8.1)
где N и а - положительные постоянные, не зависящие от выбора решения
x(t).
Легко видеть, что из экспоненциальной устойчивости решения 1 = 0 следует
его асимптотическая устойчивость. Действительно, полагая
Предыдущая << 1 .. 57 58 59 60 61 62 < 63 > 64 65 66 67 68 69 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed