Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
обстоятельство, например, имеет место для симметрической матрицы (см.
[4]).
Заметим, что, вообще говоря, характеристические числа к - комплексные и,
следовательно, в общем случае как матрица преобразования S, так и матрица
Жордана J имеют комплексные элементы. Если ограничиться действительными
преобразованиями, то соответствующая модифицированная матрица Жордана
имеет более сложный вид (см. [4]).
Можно доказать, что форма Жордана обладает свойством единственности, т.
е. данную матрицу с помощью преобразования подобия (1.6.2) можно привести
только к единственной форме Жордана, с точностью до порядка клеток, и, в
частности, размеры набора клеток Жордана не зависят от выбора матрицы S
(см. [4], [5]). Например, форма Жордана матрицы А будет полностью
определена, если упорядочить ее характеристические числа кр (р= 1, ...,
т), а клетки Жордана, соответствующие одному и тому же
характеристическому числу, расположить в порядке возрастания их размеров.
Пусть В ел А, т. е. существует неособенная матрица Т (det Т 0) такая, что
В = Т АТ Л
Отсюда
А = Т~'ВТ" (1.6.3)
Теорема I. Подобные матрицы имеют одинаковые формы Жордана (с точностью
до порядка клеток).
38
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. I
Доказательство. Действительно, из формулы (1.6.3) имеем ХЕ - А = Т-1 (Х?
- В) Т,
отсюда
det (ХЕ -А) = det Г-1 det (IE - В) det Т = det (Х?~ В)
и, следовательно, характеристические полиномы матриц А я В, а значит, и
их собственные значения Хр (р = 1, ..., п), совпадают между соб^й.
Кроме того, если
А = S-VS, где J - форма Жордана, то
В = TAT-1 = TS~lJST-1 = (ST-1)-1 J (ST-').
Таким образом, J есть также форма Жордана матрицы В. Следствие.
Собственные значения кр(р = 1, ..., п) матрицы А и ее элементарные
делители (X - Хр)еР (р - 1, ..., т) являются инвариантами для
преобразований подобия (1.6.3). Отметим еще один полезный результат.
Теорема 2. Верхняя треугольная (п X п)-матрица
К(Х) =
712 • ¦ • 71л ОХ ... Ьп
i\E -\-Г,
0 0 ...
L0 0 ... X
где петый косой ряд отличен от нуля, т. е.
712723 ••• 7л-1.л 9^ 0,
подобна соответствующей клетке Жордана
J(\) =
-X 1 . . 0~
0 X . . 0
0 0 . . 1
_0 0 . . х_
= ХЕ -j- /j.
(1.6.4)
(1.6.5)
(1.6.6)
Доказательство. Покажем, что существует неособенная матрица S=[sM] такая,
что
S-1 (Х? + Г) S = Х?-f /ь где - первый единичный косой ряд (см. § 1), или
TS = Sfl. (1.6.7)
§ 6]
Положим
ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ
39
S11 ^1, л-1 0 ~
0 Sii • • s2, л-1 0
0 0 . t ^л-1, л-1 0 .
_0 0 . . 0 1 _
Тогда
"о Tiasaa Tl pSp, л-1 p> 1 Ъп
0 0 У1 lip^p. л-1 p > 2 Тал
0 0 0 Тл-
0 0 0 0
и
- 0 Sll Si 2 si. л-а Sl, Л-1
0 0 Saa ¦ S2. л-З sa. л-а
0 0 0 . sn-l, Л-1 *л-1. 1
_ 0 0 0 . . 0 0
Приравнивая в силу (1.6.7) соответствующие элементы вторых диагоналей
матриц SIi и TS, будем иметь
Sli - Tiasa-2.
saa = T23S33,
Л-1. Л-1 Тл-1. Л*
Отсюда, учитывая условие (1.6.5), получим
5ц - Т12Т23 1п-1. л Ф(r),
sti- Таз ••• Ти-i. л Ф 0>
[1.6.8)
-1, п- i ''
40 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. ?
Приравнивая соответствующие элементы третьих диагоналей матриц SI 1 и TS,
находим
S12 - Tl2S23 Ч- Tl3S33> J
Sa3 - T23S3i T24S44> I (1.6.9)
П-Л - 7я Л, яЛ^Я-1, n Тя-2, til \
где s"_i " = 0, Отсюда последовательно определяются элементы sj.j-ri
(/5s1)-
Аналогично находятся все остальные элементы матрицы S. Так как на
основании (1.6.8) имеем detS - SnS2.3 ... s"_i. n-i ^ 0, то матрица -
неособенная и, следовательно, теорема доказана. Следствие 1. Если матрица
А имеет вид
А = S'1 diag[Ki (XJ, Km(lm)]S
где det S ^ 0 и KPQ-P) (P= 1, m) - верхние треугольные матрицы
специальной формы
к v(P)~ * Un
0 >. •. ' 12 П
о 1 0 . •• .
то числа Хр (р = 1, ... , т) суть собственные значения матрицы А, причем
если
••• Tn-i,n ^ 0 (Р = 1, ¦¦¦ , т),
то размеры клеток К,р (%) представляют собой показатели элементарных
делителей матрицы А.
Следствие 2. Всякую квадратную матрицу -4 с помощью преобразования
подобия
B = SAS~1
можно привести к почти диагональному виду
л Ь12 • • Ьы
в = Ьг 1 л2 .. • &2П
Ai Ьп 2 * ¦ К _
где при j^k и ? - сколь угодно мало {см. (61).
5 7J ФУНКЦИИ МАТРИЦЫ 41
Действительно, матрица А подобна матрице
7 = diag[/1(X1), , Jm(km)],
где Хь .... >.т (т^п) - характеристические корни матрицы А и Jpi^p) (P=h
т) - соответствующие клетки Жордана. Так как в силу теоремы 2 имеем
Jp(bp)<y2Kp(kp) (р= 1, ..., т),
где
1 >' Чэ а 1 о
• о К . 0
0 о . ?
1- о о . • V
то, очевидно, матрица А подобна матрице
B = diag[/(1(X1)....... Кт (Xm) 1,
обладающей нужным свойством,
§ 7. Функции матрицы
Пусть X - квадратная матрица. Тогда, используя действия над матрицами,
можно определить матричные полиномы
Р(Х) = А1) + А1Х + ... + АрХ'>
(правый) и
Q(X) = fi* + Xfi1 + ... + X"fi,
(левый), где постоянные матрицы Л0, ..., Ар ц В", , Bq та-
ковы, что указанные действия возможны. В частности, это могут быть
квадратные матрицы одинакового с X порядка или числа (скаляры).
Если Q (Л') - неособенная матрица, то можно определить рациональные
