Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
К, •••, К (т^п)
собственные значения матрицы А, отвечающие различным клеткам
Jifli), ее канонической формы Жордана, и пусть
еь ..., ет, соответственно, порядки этих клеток. Тогда
А - S"1 diag [Л(Х0, Jm(K)]S,
где S - некоторая неособенная матрица (det S ^ 0).
56 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. [
Воспользовавшись формулой (1.12.1) и учитывая известные свойства
квазидиагональных матриц, имеем
eAt == exp {/S"1 diag (Xt), ..., Jm(Xm)]S}=r
= 5 1 diag [ety' iX'', ..., ] s. (1.13.2)
Так как
Jq Q-q) = "Г l''i (<7=1. •••, M).
где Eq - единичная матрица порядка q и /(?! - ее первый единичный косой
ряд, то
Л1 V = | + /¦")' = | % 2 >Г 'IT=
р = 0 р = о г = 0
00 r(0)S 00
<•=0 Р = '
Как известно,
1)9) = [Г^у = 0 при rsse?,
причем
у JV^l. _ "V
Zj (Р- г)! " *
Поэтому из формулы (1.13.3) окончательно получаем
г - 1
Я
е> 9< 2 Я" /('?> (<7 = 1 > • • •. m), (1.13.4)
г - 1 Я
И,
е я я
= 0 где
!T = Eq-
Формулы (1,13.2) и (1.13.4) и дают нормальную форму матрицы.
Заметим, что формулу (1.13.4) можно было непосредственно получить из
общих формул (1.9.9) и (1.9.10).
Замечание. Из формул (1.13.2) и (1.13.4) при 1 = 1 вытекает, что если ).
(q - \, т) - собственные значения матрицы А, то е'я являются собственными
значениями матрицы еА, причем, так как е'ч Ф 0, порядки соответствующих
клеток Жордана матриц А и еА одинаковы (§ 9, теорема 3, следствие).
П р и м о р. Написать нормальный вид матрицы егЛ, где
2 1 0'
0 2 1
0 0 2
§ ]4] НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ЭКСПОНЕНЦИАЛА МАТРИЦЫ 57
Гак как матрица А в данном случае есть клетка Жордана, го на основании
форхп'лы П.12.4) получаем
-1 1 t-
1! 21
е*А = в ^ ^В ч-- I, -i- /> ^ - еi t
е е V' 1! \) - |о 1 ~ !•
(I I. ;
Замечание. Из формул (1.13.2) и (1.13.4) можно получить оценку нормы
матрицы еА'.
Пусть
a - max ReX? (Л).
ч
Используя 1 норму или II норму, на основании формулы (1.13.2) при /ЗгО
получаем
eAt |j || S- || max || exptJ9(\) || || S || ^
ч
eq-X r
sgc max j eV \ e"'P(/), (1.13.5)
9 r = 0
где P (t) - некоторый целый полином степени к - та\ (ед - 1).
ч
Так как при любом г^>0 имеем
lim ^4г = 0,
/ -> 4- 00
то из формулы (1.13.5) находим
|| еА' || sgce(c'+s)1' при Osg/<^oo, (1.13.6)
где с = с(в) - некоторая положительная постоянная.
Оценка вида (1.13.6) имеет место также и для III нормы. Отметим, что если
характеристические числа матрицы А, обладающие наибольшими вещественными
частями а, имеют простые элементарные делители, то при t~^ 0 справедлива
улучшенная оценка:
|| eAt || =s=cea/. (1.13.7)
§ 14. Некоторые свойства экспоненциала матрицы
Найдем dete^. На основании формулы (1.13.2) получаем
т
det еА' - det S ' det .-det ё'т{'т' det S = |^[ det
?=i
58 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ (ГЛ. I
Так как в силу формулы (1.13.4), очевидно, имеем det еио (V =ееч1я' (Я =
1, •••, т),
то
т
det^ = exp(/" ? еЛ)> (1.14.1)
где ?>!+ ... -{-ет = п.
Собственные значения X являются корнями векового уравнения
det (Х? - А) = 0,
X аи - <2ц • -
- аи X 62 ) о . O-in
- аш Q-ni ' ¦¦ ^ - апп
Отсюда получаем
X" - (ап -|- аш -(- - -. -(- апп) Хл 1 -|-... -|- (-1)" det А = 0.
(1.14.2)
т
Так как выражение ^ eq~kq, очевидно, представляет собой сумму ?=1
всех корней уравнения (1.14.2), где каждый корень берется слагаемым
столько раз, какова его кратность, то
т
У] eq^q = аП + аИ Ч- • • ¦ Ч- апп - ^Р А.
?=¦>
Таким образом, из формулы (1.14.1) имеем det eAt = е' sp а,
где
П
Sp А = 2 ajj
/=i
- след матрицы А.
Найдем производную матричной функции eAt по параметру t. Так как элементы
матрицы
СО
еА'=2я*р (1Л4-3)
§ 151 ЛОГАРИФМ МАТРИЦЫ 59
представляют собой целые функции от t, то законно почленное
дифференцирование ряда (1.14.3) по t и. следовательно, имеем
СС
Ум= 2 = = <М4 4>
р= 1
Из формулы (1.14.4) вытекает, что матрица
X{t) = eAt
удовлетворяет дифференциальному уравнению
%-лх.
причем X (0) = ?.
В более общем случае, если (п X гс)-матрица X (/) С1 коммутирует со своей
производной Х'(^), получаем
тА'х'"1 = т,{Ъ*1х('П'\ =
Р - о
со
= Z &=T)i1 х ^w = ** [t)X'{t) = х'{t) еХ w-
§15. Логарифм матрицы
Определение. Пусть X - квадратная матрица. Матрица У, удовлетворяющая
условию
eY = X,
называется логарифмом матрицы X и обозначается следующим образом:
К = Ln X.
Теорема. Всякая неособенная матрица X имеет логарифм. Доказательство (см.
[6]). 1) Пусть сначала Х = /(Х]) - клетка Жордана порядка еи
соответствующая собственному значению Хь причем Xj ф 0, так как
предполагается, что матрица неособенная. Имеем
А '
X - XjЕ -|- /] - Xj [Е -|- ,
где У] - первый единичный косой ряд.
По аналогии с известным логарифмическим разложением
СО
ln(l+2)= J Яр (|2|<1) (1.15.1)
р = 1
60 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ .МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ |1Л I
рассмотрим матрицу
Y = Einh+ (1.15.2!
Р= 1
где
Ln X, = In j X, | -j- i (arg X, -J- 2?<r)
(k - 0, ±1, ±2, ...).
Так как = 0 при то ряд (1.15.2) сходящийся и матри-
ца Y всегда имеет смысл.
На основании формулы (1.15.1) при |г|<^1 справедливо тождество
