Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Демидович Б.П. -> "Лекции по математической теории устойчивости" -> 14

Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости — М.:Наука, 1967. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematicheskoyteoriiustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 121 >> Следующая

Далее, пусть F (t) - неособенная матрица и F~l (t) - ее обратная матрица,
Имеем
F(t)F1(() = E.
Дифференцируя это равенство, получаем
F(f)F~' (t) + F(t)[F~' (t)]' = 0.
Отсюда
IF1 (t)Y = -F(t)F(t)F' (t)•
Приведем еще одну формулу дифференцирования. Пусть V - скалярное
произведение
V' (0 = (х (t), у (0) = у* (0 я- (/)•
§ 11] ПРОИЗВОДНАЯ И ИНТЕГРАЛ МАТРИЦЫ 51
Учитывая, что
dy*__(dy\*
~dt~\di) '
имеем
r">=j* ? + (?)*,") =
= (?."">)+ (*">, I).
Укажем еще один результат. Пусть (п X п)-матрица X (t) ? С1 и У {t) -
[X{t)}m = X(t)...X(t)...X (t).
т раз
Имеем
т-1
Y'(t)= 2 [X(0]vX'(0[^(0]m","'.
v=0
В частности, если X (t) коммутирует со своей производной X'(t), т. е,
X(t) X' (t) = X' (t)X(t),
то получаем
J- [X (О Г = m [X (0]т-1Х' (/) = тХ' (*) [X (/)
Пусть
Fp(t) = (f%Ht))?C'(a, Ь) (р= 1, 2,...) и матричный ряд
со
Z М*)
Р=1
сходится при t ? (а, b), а ряд производных
СО
Z (О
р=1
сходится равномерно на (а, b), т. е. все функциональные ряды
со
(/=!,•••, т; /г =1,
р=>
равномерно сходятся на (а, 6). Тогда при t ? (а, Ь) справедлива формула
d dt
р=1 р=1
•52 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 'ГЛ. i
Доказательство проводится аналогично скалярному случаю. В частности^
формула (1.11.1) верна, если
WFp(t)\\^cp (р=1, 2,...),
ОС
где ряд ? св сходится.
р=1
Если матрица F (t) ? С [а, Ь], то при tQ?\a, b] и t ?'[а, Ь] определяется
ее интеграл (см. [1])
^ F (х) dx = ($ fjk (т) dx).
*0 *0
Используя понятие предела матрицы, интеграл матрицы можно определить
через предельный переход
е п~х
\F{x)dt = lim 2IF(f,)Af"
tQ max I '* v=0
где t0<_ti<...<.tn = t и
Дtv = tv + 1-t^ (v = 0, 1,..., n - 1).
Справедливы следующие свойства:
1) если F (t)~ Ф' (t), то
jF(x) dx = Ф(/) -Ф(/");
*0
2) если С - постоянная матрица, то
t t
\CF(x) dx = C \F(x)d%,
lo to
t t
5 F (x) Cdx = J F (x) dx-C;
3) если F (x), G(x)?C[t0, t], to
/ t t
§ [F (x) -\-G (x)]dx~^ F (x) dx 4- (x)dx;
to *o *o
4) если F(x), G(x)? C1 [/", /], to
г *
^ F (x) G' (x) dx - F (t) G(t) - F (t0) G (t0) - $ F' (x) G (x) dx Л)
*0
(формула интегрирования rio частям);
5)
/ ?
|| ] F(x)dx || ||F(x) || 1*|. (1.11.2)
^0 *0
§ 111
ПРОИЗВОДНАЯ И ИНТЕГРАЛ МАТРИЦЫ
53
Действительно, в силу свойства 3) нормы матрицы для любой конечной суммы
имеем
П - 1
П - 1
I! 2 IIF w ||1дм-
ч=0 ч=0
Отсюда, переходя к пределу при гпах|Д/ч|-"-0 и учитывая непрерывность
нормы, получаем формулу (1.11.2).
В дальнейшем иногда придется рассматривать вектор-функции
/ (х) =
h (х)
fт (X)
компоненты которых fj(x) = fj(x1, хп) зависят от нескольких
переменных х = (хи..., хп). Если fj(x)(^Cl (/= 1, ..., т), то под
производной такой функции по вектору х понимается матрица Якоби
г d/i " dh дх,''' дх"
dxk
dfm dftn .dXi"' dxn
где
Если мы имеем сложную функцию
¦a=f(x) (и = ("ь ит)\ х = (хи x = <f>(t), t = (iu tp),
%n))i
причем f(x) и "р (t) непрерывно дифференцируемы, то согласно правилу
дифференцирования сложной функции получаем (см. [7])
duj
Жь
= 2
\ duj dxs
дхs
1,
s=!
Отсюда, используя правило умножения матриц, будем иметь du /yi duj дхЛ
/диj \ fdxj
dt dxtdtb 1 \ WclJ \dFk)
т. e,
du (\duj дхЛ (ди
\^J dxs dtk ) \cb
d dx
dt
t(X)=f(X)
dt
54 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ I ГЛ. I
§12. Экспоненциал матрицы
Пусть X = (xjk) - квадратная матрица порядка п. Определение. Под
экспоненциалом квадратной матрицы X понимается матричная функция
оо
expX = e*=2f. (1 • 12.1)
р = о
Матричный ряд (1.12.1) сходится для любой квадратной матрицы X и притом
абсолютно. Действительно, составляя соответствующий ряд норм, будем иметь
ОО ОО
р =О р=1
что и доказывает наше утверждение.
В частности, на основании формулы (1.12.2), используя 1 или
II нормы, где || ? || = 1, имеем
ОО
ye* || 2 ^Щ^- = е"*И .
р = о
Пусть матрицы X и Y перестановочны, т. е.
XF = FX.
Докажем основное свойство экспоненциала матрицы
exeY = ех+у. (1.12.3)
Действительно, в силу абсолютной сходимости разложения
(1.12.1) имеем
ОО ОО СО 00
АУ= У да . У Ц= у У EIL
La Р'- Zj ?! Lj Zj !>'ч'
р = 0 q - 0 р = 0 д - 0
Положим
pJrq = s (s = 0, 1, 2, ...);
тогда
q = s - р^О, т. е. p=s?s,
и, следовательно,
ОО S ОО 5
= 2 2 242 с'х,у""' (Ы2'4>
s = 0 р = О .9 = 0 р = О
где
О =----------- -г,
s р! (s-р)1
§ 13| НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ЭКСПОНЕНЦИАЛА МАТРИЦЫ 55
- число сочетаний из s элементов по р. Так как матрицы X и
Y перестановочны, то
5
2 СРХРУ*~Р = (Х + УУ.
Р = 0
Отсюда на основании формул (1.12.4) и (1.12.1) получаем
СО
ехеУ=2^(Х + уУ = еХ+?,
что и требовалось доказать.
Из формулы (1.12.3), в частности, находим
(exyi^e-x (1.12.5)
Отметим еще одно свойство экспоненциала матрицы. Если Xt- квадратная
матрица, подобная матрице X, т. е.
Xl = SXS~1 (detS^O),
то имеем
СО со
еЛ,= 2 ^(SXS-r = S (2
р=0 р=о
т. е.
exp (SXS^1) = S (exp X) S-1. (1.12.6)
(ср. § 9).
§13. Нормальная форма экспоненциала матрицы
Пусть А - квадратная матрица. Рассмотрим экспоненциал более общего вида
(1.13.1)
где t - числовой множитель (параметр). Обозначим через
Предыдущая << 1 .. 8 9 10 11 12 13 < 14 > 15 16 17 18 19 20 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed