Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
определенную в некотором интервале (a, b)czf:
ч В гех случаях, когда это нр вызывает неясностей, мы ь.место символа -i-
схз будем писать символ со.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ устойчивости
65
и удовлетворяющую при a<^t <^Ь уравнению (2.1.2), будем называть его
решением.
В дальнейшем будем обычно предполагать, что
f(t, у) е (Z),
т. е. вектор-функция f(t, у) в области Z непрерывна по независимой
переменной t и имеет непрерывные частные производные первого порядка по
зависимым переменным уи ..., уп. Если система (2.1.1) рассматривается в
действительном пространстве т0 производные правой части ее трактуются в
обычном смысле. В том случае, когда у может принимать комплексные
значения, функцию f(t, у) будем предполагать аналитической относительно
совокупности комплексных переменных yi, ..., уп (в простейшем варианте -
многочленом от этих переменных). При этом под производными f'jVk(t, yi,
уп) (/, k=\, ..., п) понимаются производные с точки зрения теории
аналитических функций (см., например, Гурса, Курс математического
анализа, Гос-техиздат, 1933, т. II, ч. 1, гл. XVII).
При этих условиях справедлива теорема Коши (см. [9], [10], [11]): для
каждой системы значений (t0, у0) G ^ существует
единственное решение системы (2.1.2):
У=У(0 (to -А </</" +В;
Л> 0, Я>0),
определенное в некотором интервале (t0 - A, t0 -j- В) с= (t, со) и
удовлетворяющее начальному условию: У(^о)=Уо, т. е. однозначно разрешима
соответствующая задача Коши. Иначе говоря, в области ZczIfXJRy существует
единственная интегральная кривая y = y(t) системы
(2.1.2), проходящая через точку М" (U, г/п).
Заметим, что если для любого t tE Uo, to-т В) точка у (/) ^KczDy, причем
расстояние d ограниченного замкнутого множества (компакта) К до границы
области Dy положительно (рис. 2), то можно принять В = оо, т. е. решение
у (i) имеет смысл при /0=sS/<^ со (бесконечно продолжаемо вправо).
Аналогично при t= - оо формулируются условия бесконечной продолжаемости
влево (Л = - оо).
3 Б. FL Демидович
66 УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. II
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением дифференциальных систем вида
(2.1.2), обладающих свойством единственности, т. е. таких, для которых
задача Коши при начальных данных (4. Уо) (Е Z имеет единственное решение.
Иными словами, если
У if) (а</<6)
есть решение системы (2.1.2), то оно тождественно при a<^t<^b с решением
этой системы у (t), определяемым начальными условиями: у (to) - у (to),
где /" - любая точка интервала (а, Ь).
Решение у =у (t) можно рассматривать как траекторию фазового пространства
гДе t играет роль параметра.
Для дифференциальных систем с непрерывной правой частью и свойством
единственности имеет место интегральная непрерывность решений (см. [9] -
[12]), а именно: если у (t) (a<^t <^b) есть
решение системы (2.1.2), то для любых е^>0 и [a, f3]cz(a, b) существует
8^>0 такое, что решение z(t), определяемое начальным условием г(т)=г0,
где ? ? [а, р] и || г(ч) - у (7) || <8, будет иметь смысл при причем
\\z(t)-.у(0||<Се Для
t (Ё [а> PI (см- Рис- 3).
Определение 1. Решение Л - Л (0 (а <С °°) системы
(2.1.2) называется устойчивым по Ляпунову (ом. [13]) при / -> -|- со
(или, короче, устойчивым), если для любых е^>Ои/0^(а, оо) существует 8 =
8 (е, /") > 0 такое, что
1) все решения y-y(t) системы (2.1.2) (включая решение Л (0)>
удовлетворяющие условию
ЖМ-Л('о)11<8, (2-1.Я)
определены в промежутке /0 ^ t <С со, т. е.
V(t)^Dy при /?[?о, °°);
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ
67
2) для этих решений справедливо неравенство
|| у (t) - t] (t) || <^s при /Os^/<;co. (2.1.4)
Иными словами, решение ti(/) устойчиво, если достаточно близкие к нему в
любой начальный момент t0 решения у (t) целиком погружаются в сколь
угодно узкую s-трубку, построенную вокруг решения ti(/) (рис. 4).
Из неравенств (2.1.3) й (2.1.4) по смыслу вытекает, что всегда можно
выбирать 8 sg; е.
В частности, при f(t, 0) = 0 ¦ тривиальное решение (положение равновесия)
(t) ~ 0 (а tсо) устойчиво, если для любых е]>0 и t0 ^ (а, со) существует
8 = 8 (е, /0)]>0 такое, что из неравенства
llj^o) || <"
следует неравенство
IIУ (0 II <Се ПРИ t0^t<^oo.
Заметим, что из устойчивости нетривиального решения t] (t) не вытекает
его ограниченность; обратно, из ограниченности решения, вообще говоря, не
следует его устойчивость (см. § 7).
Определение 2. Если число §]> 0 можно выбрать независящим от начального
момента t0^T, т. е. 8 = 8 (е), то устойчивость называется равномерной в
области Т.
Определение 3. Решение t] = t] (t) (а <^<С со) будем называть
неустойчивым по Ляпунову, если ' для некоторых г 0, /0 ^ (а, со) и любого
8 0 существует решение у& (t) (хотя бы
одно/ и момент tx = tffi) ]> /0 такие, что
||У"(М -Л(*е)||<8 и II Уь(Ь) -- Л (М || ^3=s-
Из отрицания определения 1 вытекает, что следует считать также
неустойчивым решение (t), непродолжаемое при со или такое, для которого в
любой окрестности точки т)(/")
3*
68
УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. п
