Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Демидович Б.П. -> "Лекции по математической теории устойчивости" -> 8

Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости — М.:Наука, 1967. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematicheskoyteoriiustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 121 >> Следующая

Заметим, что матрица Л и ее эрмитово-сопряженная матрица А* имеют
одинаковые ранги:
г (А*) = г (Л).
Рассмотрим систему линейных уравнений
П
y?iajkxk = bj (/ = 1, ..., п). (1.5.4)
k-1
Введя матрицу системы Л = [aJk\ и векторы-столбцы х =
- colon (л:,, ..., хп), b = colon (Ьи ...,#"), систему (1.5.4)
можно
записать в виде векторно-матричного уравнения
Ах = Ь. (1.5.5)
Теорема Кронекера - Капелли (см. [2]). Система
(1.5.5) имеет решения тогда и только тогда, когда ранг г = г(А)
матрицы А системы совпадает с рангом г' = г (В) расширенной матрицы
? = [j A I b | ].
В частности, если det Л О, то, очевидно, г(А)-г(В)~п и для системы
(1.5.5) существует единственное решение
х = Л~' Ь.
§ 5] ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 27
Если det^ = 0 и k = n - г - дефект матрицы А, то каждая из однородных
линейных систем
А% = 0 и Л*т] = 0 (1.5.6)
имеет k линейно независимых нетривиальных решений соответственно: |(1),
..., и т](1), ..., В этом случае линейная
неоднородная система (1.5.5) совместна тогда и только тогда, когда
выполнены условия ортогональности:
(Г)(р), Ь) - 0 (р=1, ..., k).
При соблюдении этих условий система (1.5.5) допускает ook решений:
JC = JC0 + 2 cjl{J\
3=1
где лг0- некоторое частное решение системы (1.5.5) и си . ch -
произвольные постоянные.
Определение 6. Пусть каждому вектору х ? 9Г ставится в соответствие
вектору ? Шт. Тогда говорят, что в определено преобразование
у = Ах, (1.5.7)
действующее из 91" в 9{'и.
Естественно определяются операции над преобразованиями А и В:
('J-A) х = 7- (А х) (г-число);
(А -г В)х = Ах -\- Вх;
(АВ)х = А (Вх).
Отметим еще нулевое преобразование
Ох ~ О
и единичное преобразование
Ёх = х.
Если для преобразования А существует преобразование А \ удовлетворяющее
условию:
а~1А=аА-1=ё,
то оно называется обратным преобразованием для А.
28
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МКРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. I
Преобразование А называется линейным, если выполнены следующие условия:
1) А(ьХ) - гАх (а - число);
2) А (л:-)-x')-AxJrAx'.
Пусть А - линейное преобразование, действующее из 9Г в ?ЯП и е={еь ...,
- некоторый базис пространства 31". Тогда век-
торы А гк (k = 1, ..., п) допускают разложения
¦jk *>!¦
(1.5.8)
Матрица А = (aju) называется матрицей преобразования А (в данном базисе).
Заметим, что первый индекс у элемента а!к обозначает номер координаты
и таким образом aJk есть у-я координата
к-го преобразованного базисного вектора гк, т. е. a}k - (Azk)j.
Пусть
== &к
h
- произвольный вектор из Шп и (k = 1, ..., п) - его координаты. В
силу линейности преобразования А имеем
у = Ах = А^ ?*е/; = '?$кАек.
h h
Отсюда на основании формул (1.5.8) получим
У == Zk 2 ajk === 2 (2 aJk %к) (r)/- (1 .5,9)
/< j j и
Следовательно, координаты вектора у в данном базисе еь ... , е"
суть
rij = ^iaihlk (/ = !,...,"). (1.5.10)
Если для векторов х и у ввести представления
V]
х
У =
то соотношения (1.5.10) эквивалентны матричной формуле
у -Ах, (1.5.11)
Таким образом, линейно преобразованный вектор равен произведению матрицы
преобразования на исходный вектор.
§ Г1; ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 29
Нетрудно убедиться, что арифметическим операциям над линейными
преобразованиями отвечают такие же операции над их матрицами.
Пусть е - {в\, еп\ и е = {еь ..., ея}-два базиса пространства 9Г.
Установим связь между ними, причем, следуя традиции аналитической
геометрии, будем выражать элементы первого базиса (старого) через
элементы второго (нового). Имеем
= (k=\, .... п), (1.5.12)
i
где Sjk - некоторые постоянные, причем, как обычно, первый индекс j
представляет собой номер координаты вектора ек в базисе е. Неособенную
матрицу S = [srt] будем называть матрицей перехода (от второго базиса к
первому).
Заметим, что если базисы вне ортонормированы (ортогональны и
нормированы), т. е.
(ej, ek) = bJk и (8У, Bk) = ?jJk,
то матрица перехода 5- унитарная (в частности, в действительном
пространстве е%'г- ортогональная). Действительно, в этом случае в силу
формулы (1.5.9) имеем
V = = (<?*> е,) =
(.2 sPk ер> 2sqJ 1 zL si>k s<ii fei" ~ s pi sp!<'
p p p. i p
т. e.
S*S=E.
Таким образом, матрица S-унитарная.
Пусть
х = ^хАек,
к
где А], ..., хп - координаты вектора х в базисе е. На основании формулы
(1.5.12) имеем
* = хк TisJkBJ = ft j
= Д] 8у 2] sjk %к- (1.5.13)
} 'К
Отсюда координаты вектора х во втором базисе суть v- У,^кХк (j - 1 > •••,
'Ц.
30
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. I
Полагая g = colon(?1( ?"), будем иметь
I = Sx, (1.5.14)
т. е. новый координатный столбец вектора равен матрице перехода (от
нового базиса к старому), умноженной справа на его старый координатный
столбец.
Пусть eL, еп и еь ..., е" - два базиса в Шп и S (det S ^=0)
- неособенная матрица, устанавливающая связь между координатами
вектора в первом и во втором базисах. Предположим, что А - линейное
преобразование в 9Г, имеющее матрицу преобразования А в первом
базисе и матрицу В - во втором. Пусть
x={xlt ..., хп} и y = {ylt ..., уп} - два вектора, отнесенных
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 7 < 8 > 9 10 11 12 13 14 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed