Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Демидович Б.П. -> "Лекции по математической теории устойчивости" -> 9

Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости — М.:Наука, 1967. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematicheskoyteoriiustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 121 >> Следующая

к
первому базису, такие, что
у = Ах. (1.5.15)
Во втором базисе эти векторы будут иметь, соответственно, новые
координаты {?1( ..., у и {т|ь ..., ч)"}, и наборы этих координат можно
интерпретировать как некоторые векторы
¦ *1п _7ll '
И Г] =
Уп I L Чп _
в первом базисе, причем
r\ = Bt
Кроме того, в силу (1.5.14), имеем
| = Sx, r\ = Sy Из соотношений (1.5.15), (1.5.17) получаем
и
il = Si4S'1I.
Сравнивая с (1.5.16), находим
B = SAS~1. (1.5.18)
Матрицы, связанные соотношением (1.5.18), называются подобными. Таким
образом, линейное преобразование в различных базисах описывается
подобными матрицами. Для краткости говорят, что В получается из А с
помощью матрицы S.
Отношение подобия (1.5.18) между (п X. я)-матрицами А и В обычно коротко
обозначается так: Всл>А. Легко проверить следу-ющиесвойства: 1) А сл> А
(рефлексивность); 2) если A zn B, то В гп А (iсимметрия); 3) если Azn>B
иВслС, то Azn>C (транзитивность);
4) если А ап В, то, очевидно, имеем det А - det В.
(1.5.16)
(1.5.17)
ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
31
Определение 7. Вектор х Ф О называется собственным для линейного
преобразования А, если
Ах = Хх, (1.5.19)
где число X называется собственным значением или характеристическим
числом (характеристическим корнем) преобразования А (см. [4]).
Пусть А - матрица преобразования А в некотором базисе. Из формулы
(1.5.19) имеем Ах = %х и, следовательно,
(А - \Е)х = 0. (1.5.20)
Линейная однородная система (1.5.20) может иметь ненулевые решения только
в том случае, когда
det (А - ХЕ) = 0. (1.5.21)
Корни Хь ..., Х" векового уравнения (1.5.21) называются
характеристическими числами {характеристическими корнями) или
собственными значениями матрицы А, а соответствующие нетривиальные
решения однородной системы (1.5.20), получающиеся при X = Ху, -
отвечающими ему собственными векторами матрицы А.
Корни векового уравнения (1.5.21) не зависят от выбора базиса и
представляют собственные значения преобразования А.
Действительно, если преобразование А в другом базисе описывается матрицей
В, то имеем
B = SAS~l (det S ф 0);
отсюда
det (В - Х?) == det (Sy4S"' - X SES~l) =
= det S det (A - \E) det S~l = det {A - \E).
Аналогично, если x есть собственный вектор матрицы А, отвечающий ее
характеристическому числу X, т. е. х есть нетривиальный вектор,
удовлетворяющий уравнению (1.5.20), то | = = 3хф0 и является собственным
вектором подобной матрицы В, отвечающим тому же характеристическому числу
X, так как
(В - Щ | = S (А - \Е) S~l Sx = 0.
Таким образом, свойство собственности вектора преобразования А также не
зависит от выбора базиса.
Определение 8. Преобразование А называется эрмитовым или самосопряженным,
если в любом ортонормированном базисе ему соответствует эрмитова матрица
А - А*, где А* - А1 .
32 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ fГЛ. I
Как было показано выше, переход от одного ортонормиро-ванного базиса к
другому осуществляется с помощью унитарной матрицы U:
Поэтому, полагая
В - U AU X = U AU*,
будем иметь
В* = U A*U* = В,
т. е. если преобразование А эрмитово в одном ортонормированием базисе, то
оно будет эрмитово и в любом другом ортонормированием базисе.
В случае, когда эрмитова матрица действительная, она является
симметрической.
Для эрмитова преобразования справедливы следующие предложения (см. [4]).
Теорема 1. Все собственные значения эрмитова преобразования
действительны.
Теорема 2. Собственные векторы эрмитова преобразования, соответствующие
различным собственным значениям его, ортогональны между собой.
Теорема 3. Для всякого эрмитова преобразования существует естественный
ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов, в котором
матрица преобразования диагональна и вещественна.
Пусть х, у (: Шп и A = [ajk\ - матрица типа н X я. Скалярное произведение
(Ах, y) = '?i(Ax)^i = ^ajllxll~ij; (1.5.22)
з h h
называется билинейной формой с матрицей А. Выражение (1.5.22), учитывая
независимость суммы от обозначения индексов, можно записать в виде
(Ах, у)=У. ak'j Xj yk = Y. аы У к XJ -(А*у, х),
з, к h !<
где А* = [akj] - эрмитово-сопряженная с А матрица. Следовательно,
(Ах,у) = (х, А*у), (1.5.23)
т. е. в скалярном произведении (1.5.23) матрицу А можно перебрасывать с
первого места на второе, заменяя ее эрмитово-сопря-
§ 5) ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 33
женной А*. Отсюда, если матрица А эрмитова (в действительном случае -
симметрическая), то имеем
(Ах, у) - (х, Ау). (1.5.24)
В этом случае
I/ (х) = (Ах, х) = х*Ах='? aJkXkXj
Л *
называется эрмитовой квадратичной формой. Так как
V (*) = xk Xj = akjX;Xk = к (X),
j, k k, j
то эрмитова квадратичная форма имеет вещественные значения.
Если и А - вещественная симметрическая матрица
(АТ-А), то эрмитова форма V (х) представляет собой действительную
квадратичную форму (т. е. однородный полином второй степени):
V (х) - х 1 Ах = ^ aJkXjXk (ajk = akJ)
i. ь
с матрицей A = [ajk],
Найдем оценку для функции V (х). Пусть I,- - X,- (А) (/=1,
..., п) ----- собственные значения матрицы А и
Предыдущая << 1 .. 3 4 5 6 7 8 < 9 > 10 11 12 13 14 15 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed