Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Демидович Б.П. -> "Лекции по математической теории устойчивости" -> 6

Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости — М.:Наука, 1967. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematicheskoyteoriiustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 121 >> Следующая

S-1 (S-')T=ST(ST)-l = E.
Таким образом,
S = (S-')r.
Определение 12. Квадратная матрица U, обладающая свойством
?/"1 = ?/*, (1.1.6)
называется унитарной.
Очевидно, имеем
ии* = и*и = Е.
На основании (1.1.6) выводим
| det U | = 1.
Заметим, что если U унитарна, то U~l также унитарна и, следовательно,
| det t/-11 = 1.
Определение 13. Под следом SpА квадратной матрицы А = [ajk\ понимается
сумма всех ее диагональных элементов:
Sp Л = 2 ап.
J
Очевидно, имеем
Sp4r=Sp4
и
Sp (аЛ) = a Sp Л (а - скаляр).
Если А я В - квадратные матрицы одного и того же порядка,, то справедливы
следующие соотношения:
1) Sp (аЛ -)- {Ш) = a Sp А -)- р Sp В (а и Р - числа);
2) Sp (ЛВ) = Sp (ВА). '
§ 2. Степень матрицы
Если Л-квадратная матрица и р - натуральное число, то по определению
полагают
АР = А ... А.
§ 3] КЛЕТОЧНЫЕ МАТРИЦЫ 19
Кроме того, имеет место соглашение
А" = Е,
где Е - единичная матрица того же порядка, что и А.
Если А - неособенная матрица, то по определению имеем
А-р = (А~У (р> 0).
В этом случае для любых целых р и q справедливо правило перемножения
степеней
АРА" = А<"q. (1.2.1)
В случае особенной матрицы А формула (1.2.1) имеет место лишь для
неотрицательных р и q.
Если А и В - квадратные матрицы одного и того же порядка, перестановочные
между собой, т. е.
АВ = ВА,
то для натурального р справедлива формула бинома Ньютона
р
(А+Ву= 2 СчАр-'В*,
k = 0
где
& = -_____?_____
- число сочетаний из р элементов по q.
§ 3. Клеточные матрицы
В приложениях приходится рассматривать матрицы
= lKpq], (1.3.1)
элементы которых aJk объединены в клетки (блоки) Крд. Такие матрицы
называются клеточными или блочными.
Если
B = [tpq]
- клеточная матрица, имеющая одинаковое с матрицей А разбиение на
блоки, то
A±B = [Kpq±Lpq].
Кп ... Kin
...
Kmi ... Ктп
20
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. г
Если клетки Крг и Lrq допускают перемножение, для любых
р, q и г, то
AB = [2KprLrg}^
В частности, пусть
А = diag (Kt,
В = diag (Llt
' к, 0 -
Ks) = _ 0
Ls) =
и
0 п
L о
- квазидиагональные матрицы (клеточно-диагональные), содержащие
квадратные клетки К\, ¦¦¦, Ks и Lb ..., ^.расположенные по главной
диагонали, причем все остальные элементы матриц. Л и В равны нулю. Тогда,
если порядки клеток Kj и Lj (/= 1, ...
..., s) одинаковы, то
А ± В = diag (Ki ±Ьи ... , Ks± Ls)
и
АВ = diag[Kibi, ..., Ksbs).
Отсюда
Лр = diag (К?, К?) (р^ 0).
§ 4. Норма матрицы
Определение. Под нормой матрицы Л = [ау*] понимается неотрицательное
число || А ||, удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам):
1) О ||= 0, и обратно, если || А || =0, то А = 0;
2) э.А || = |а| || А || , где а - любое комплексное число;
3) А -В || sg || А || -)- || В || , где А и В - любые матрицы,
допускающие сложение;
4) || АВ || sg || А || || ВЦ, где А и В - любые матрицы, допускающие
умножение.
Из 2) и 3) вытекает
41 НОРМА МАТРИЦЫ 21
В дальнейшем мы будем использовать три нормы:
|| Л||| = тах?1ау*1;
/ k
|| A ||ij = max ^ | aJk |;
* i
j_ I
IMII,.. = {S iaJk I2}2 = (Sp A*A)* i. ft
(евклидова норма).
Для вектора-столбца
х =
Xt
эти нормы имеют, соответственно, следующие значения:
ll* 111 =шах \xj |;
/
н*||п=? 1^-1;
/
И1|,"=|/Е|^7-
В дальнейшем, если некоторое соотношение окажется выполненным для любой
нормы I - III, то значок при норме будет опускаться.
Нетрудно проверить [3], что для приведенных норм выполнены аксиомы I) -
4). Кроме того, имеет место следующее свойство:
5) V |ау*1<||Л||.
Отметим, что если Л = [ои] есть (I X 1)-матрица, то
И|| = |'"н|.
Отметим еще одно полезное свойство нормы:
11И11- ||Д|||"?||Л-?||. (1.4.1)
Действительно,
М|| = ||?+И-?)|К||?|| + И-?||,
И||-||Я|КИ-?||. (1.4.2)
Аналогично имеем
!| В || - || А || <|| В-А || = || А-В\\" (1.4.3)
Из неравенств (1.4.2) и (1.4.3) вытекает неравенство (1.4.1).
22
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
(ГЛ. I
Введем понятие абсолютной величины (модуля) матрицы А = = [ау*]. полагая
| Л | = mod А = [ I ау* 1 ].
Для норм I - III, очевидно, имеем
|| А || = || mod А ||.
Для матриц A = [ajk\ и B = [bjk] одинакового типа можно ввести понятие
неравенства
А^В (1.4.4)
в том случае, если Vajk^bjk\ в частности, А^О, если \/aJk ^ 0.
Из формул для норм I - III вытекает: если выполнено неравенство (1.4.4)
mod А "с mod В, то справедливо свойство монотонности нормы
IIЛ ||< IIВ И.
§ 5. Векторное пространство
Определение 1. Упорядоченная совокупность чисел (вообще говоря,
комплексных)
X {^1, • • • ,
называется ti-мерным вектором, а числа лгь..., х" называются координатами
(компонентами) вектора л;.
В дальнейшем мы будем интерпретировать л-мерный вектор х как (л X 1)-
матрицу (матрица-столбец)
х =
хх
х"
Транспонированный вектор
хТ = [хи хп]
представляет собой (1 X я)-матрицу (матрица-строка). Если
' X! ' ~У1 "
х = [ и у =
.Х". -Уп -
51
ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
2J
- векторы и а - произвольное комплексное число, то естественно-
определяются операции сложения векторов
xi + У1
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed