Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
различным элементарным делителям,
J'q (Kq) = q~\~ Il4) (Я = 1 , ¦ ¦ • , m)
- соответствующие клетки Жордана и det S Ф 0. Отсюда, используя
теорему 2 и свойства квазиднагональных матриц, получим
FN(X) = S~lFN(diag[J1(k1), ..., Jm(km)])S =
= S 1 diag [/>(./, (M), FN(Jm(lm))]S. (1.9.8)
Далее, применяя бином Ньютона и правило возведения единичного косого ряда
в степень (1.1.3), имеем
FnU<,(\)] =
= ? а, (*,?,+/}'У = S S apCrp(lqEqrrl/fY =
р = 0 р " 0 г - 0
" г - П л - г
Так как
N
Fn(x)= 2 аРхР'
р = 0
то
N
F<8 (Х)= S арр (р - 1)... (р - л + 1)х"~г=
р'= С
§ 9] МАТРИЧНЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 47
Поэтому
I =f"(V
Р = Г
и, следовательно,
v /(9) ^
^ (J, (Ю) = 2 7Г ^ = 2 ТГ f ^ ^ (7 = 1..... т),
г = О ' г = О
где е9 - порядок клетки Жордана JgQ.g), так как
/(?) = О при г^ед.
Отсюда при jV ->¦ оо, учитывая сходимость рядов (см. [6])
F(r) (К) = I] арр (р - 1)... (р - г + 1) '
р = о
(г = 0, 1, 2, ; 9 = 1.т),
будем иметь
в, 1
f(y9(V) = lim ^(W)= У = (1.9.9)
N -*¦ оо мт Л ' •
г =0
Поэтому на основании формулы (1.9.8) находим, что существует предел
f(X) = lim Fn(X) =
N-^oo
= S ' diag [F (Jt (X,))..........F (Jm (U)] S (1.9.10)
и, значит, матричный степенной ряд (1.9.6) сходится.
2) Если некоторое Хд лежит вне замкнутого круга сходимости \x\^R, то
Пш FN(Jg(Xg))
N-* СО
не существует и поэтому ряд (1.9.6) расходится.
Следствие. Если собственные значения \k(k=\................п) мат-
рицы X лежат внутри круга сходимости \x\<^R скалярного ряда (1.9.7), то
характеристическими корнями матрицы
СО
F(X)= ?арХ?
P-Q
являются числа f (\k) (k = 1,..n).
48 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ! ГЛ. !
Если, сверх того,
F (h) (k = \
то порядки соответствующих клеток Жордана матриц X и F (X) совпадают
между собой (теорема Л аппо -Дани левского).
Этот результат непосредственно вытекает из формул (1.9.9),
(1.9.10), а также из следствия 1 к теореме 2.
§ 10. Тождество Кейли и формула Сильвестра
Пусть X - (п X я)-матрица и
Д (X) = det (КЕ - X) (1.10.1)
- ее характеристический полином.
Теорема. Всякая квадратная матрица X удовлетворяет своему
характеристическому уравнению, т. е,
Д (Х) = 0 (1.10.2)
(тождество Кейли).
Доказательство. Действительно, пусть
X = S"1diag[./1 (Xt)...ym(Xm)]S,
где Jq (X ) (q = 1,..., m) - клетки Жордана и det S ^ 0. Так как Д (X) -
аналитическая функция, то на основании формулы (1.9.10) имеем
Д (X) = S-1 diag [Д (A (Xt)),..., д (Jm(kJ) 1 S Если Х9 -
характеристический корень матрицы X кратности aq, то
Д(Хг) = Д'(Хг) = ... = Д(вг_,,(Хг)г=0
(<? = 1т). Поэтому, учитывая, что порядок соответствующей клетки Жордана
eq^o.q, в силу формулы (1.9.9) будем иметь
г -о
{q = 1,..., т)
и, следовательно,
Д (Х) = 0.
Теорема доказана.
Пусть
СО
F (х) = S архР 0 *!
р=о
- аналитическая функция, определяемая степенным рядом со скалярными
коэффициентами ар (р - 0, 1,...).
§ 10' ТОЖДЕСТВО КЕЙЛИ И ФОРМУЛА СИЛЬВЕСТРА 49
Рассмотрим соответствующую матричную функцию
СО
F(X)= SapF.
р=о
Положим, что собственные значения \k (k=\,..п) матрицы X различны и
удовлетворяют условию
\h\<R (k=l ,...,¦").
Построим интерполяционный полином Лагранжа
р {у\ _ hn) р .
r w - L (\k-\t)(\k-xft+I)... ak-\aY r ('k>
k=\
такой, что
P(h)=F(h) (k=\....4
Тогда разность F (x) - P (x) есть аналитическая функция, имеющая нули
Хь.Х" и, следовательно, ее можно представить в виде
F (х) - Р (х) = (х - Xj)... (л; - Х") G (х),
где G (х) - аналитическая функция в круге \x \<^R. Отсюда получаем
F (x) = P(x) + ?l(x)G(x), (1.10.3)
где
А (х) = (х- Xj)... (л; - Хя) = det (хЕ - X),
Так как матрицы А (X) и G (X) содержат степени только одной
матрицы X, то они коммутируют между собой и, следовательно,
тождество (1.10.3) останется в силе, если вместо скаляра * подставим
матрицу X. Таким образом, имеем
/,(Х) = Я(Х) + Д(Х)0(Х). (1.10.4)
Но в силу тождества Кейли
A (X) = 0.
Поэтому из равенства (1.10.4) получаем формулу Сильвестра (см. [8])
f <*>-2
k=i
причем предполагается, что характеристические корни \k(k - = 1,..., п)
матрицы X различны. Формула Сильвестра дает
50 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. !
представление аналитической функции У7(л;) в виде полинома от матрицы X.
Замечание. Если среди собственных значений ХА матрицы
X имеются кратные, то формула Сильвестра имеет более сложный вид (см.
[1], [8]), который может быть получен соответствующим предельным
переходом из формулы (1.10.5).
§ 11. Производная и интеграл матрицы
Пусть F (t) = [fjk (/)] - функциональная матрица типа тХп класса С1 (а,
Ь), т. е. функции f/k (t) непрерывно дифференцируемы в некотором
интервале a<^t<^b. Тогда под производной (см. [1]) понимается матрица
d^=F'(t) = (f]k(t)). dF
Употребляется также обозначение = F (t).
Если соответствующие матричные действия имеют смысл, то справедливы
следующие соотношения:
1) если С - постоянная матрица, то
2) | [F(t) + G(t)] = F(t) + G'(t);
3) ft [CF (О] -= CF {t), ±[F(t)C]=F (t) C;
4) | [F (t) G (t)] = F (t) G {t) + F{t) G' (t).
