Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Демидович Б.П. -> "Лекции по математической теории устойчивости" -> 7

Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.

Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости — М.:Наука, 1967. — 472 c.
Скачать (прямая ссылка): lexiipomatematicheskoyteoriiustoychivosti1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 121 >> Следующая

х+У = :
Хп +Уп_
и умножения вектора на число (скаляр)
' axj
ах = ха-
ах"
Эти операции обладают обычными свойствами.
Определение 2. Совокупность всех n-мерных векторов jc с определенными
операциями сложения и умножения на число называется п-мерным векторным
пространством (комплексным) а сами векторы х- точками этого пространства.
Для векторов х, у 0 3ft" определим скалярное произведение:
(х, у)= (1.5.1)
/=1
где yj - число, комплексно-сопряженное с yj. Если ввести эрмитово-
сопряженный вектор
где
У*=УТ,
У1
Уп
то формулу (1.5.1) можно записать в виде
(х,у)=у*х. (1.5.2)
Легко проверить, что скалярное произведение обладает следующими
свойствами:
1) (jc, jc) ]> 0, если х^О, и (jc, jc) = 0, если jt = 0;
2) (л:, у) = (у, х);
3) (* х, у) = а(х, у), (jc, ау) = a (лг, у), где a - произвольное
комплексное число;
4) (*+.У, г) = {х, г) -)- (у, г), (г, х+у) = (г, х) + (*> у). Число
\х\=У(х, х)= Y^\X, Is
/
называется длиной или модулем вектора jc (ср. § 4).
24
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. I
Заметим, что если вектор х рассматривать как матрицу-столбец, то длина
вектора |л:| совпадает с его нормой ijjtjjin, т. е. евклидова норма
вектора согласована с его длиной.
Из формулы (1.5.2) имеем неравенство Коши
К*. IIII •*!! = !! *1! il.v II-
Векторное пространство 3Rn, в котором определено скалярное произведение
со свойствами 1) -4), будем называть комплексным евклидовым или унитарным
пространством (см. [4]).
Иногда будем рассматривать вещественное п-мерное векторное пространство
<Мп, точки которого представляют собой векторы *х с действительными
координатами х,- (j = 1, ..., я). Для таких пространств операция
умножения на скаляр определена лишь для действительных чисел.
Для вещественного пространства о%п свойства 1) - 4) принимают вид:
Г) (х, jc)>0 при х^ьО и (х, jc) = 0 при jc = 0;
2') (х, у) -(у, х);
3') (ах, у) = а(х, у) (а - вещественное число),
4') (х +у, *) = (х, г) + (.у, г).
В этом случае норму вектора
\\x\\ = V(x, X) =>Y^x)
}
будем называть евклидовой, а само пространство <Мп - евклидовым я-мерным
пространством.
Векторное пространство ЗЧП является частным случаем линейного
пространства $, под которым понимается совокупность элементов х, у, z,
произвольной природы, с двумя определенными операциями: а) сложением х и
б) умножением ах на комплексное число а, не выводящими за пределы ?.
Предполагается, что эти операции удовлетворяют обычным аксиомам алгебры.
Вектор
т
y=?CJXU), (1.5.3)
/=1
где с,- - постоянные, называется линейной комбинацией векторов jp( l) _ _
хЫ).
Определение 3. Векторы лг(|), ..., хЫ) называются линейно зависимыми,
если некоторая нетривиальная линейная комбинация их представляет нуль-
вектор, т. е.
J^CjX^=0 и^\с,\^0.
f i
В противном случае векторы называются линейно независимыми.
§ 51 ВЕКТОРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 25
Определение 4. Совокупность п линейно независимых векторов еь ..., ел
образует базис векторного пространства Шп (см. [4]), если каждый вектор
х? ЯК71 можно представить единственным способом в виде линейной
комбинации
гг
Х = e/'i 3=1
где ij - некоторые числа, называемые координатами вектора х в данном
базисе.
Вектор
гч
отнесенный к данному базису e = {s,, будем называть
представлением вектора х в этом базисе. Очевидно, для вектора дг- {jcj,
..., лг"} числа лгь ..., хп являются его координатами в каноническом
базисе ортов:
", = {1, 0, ..., 0}, .
е2={0, 1, ..., 0},
еп=\0, 0, - 1}.
Базис еь ..., ел называется ортогональным, если векторы его попарно
ортогональны, т. е.
("/, 8ft) = 0 При / ф k.
Если, кроме того,
(е" ej) = l,
то базис называется нормированным. В этом случае имеем
(*>, *") = 8у*.
где bjk - символ Кронекера.
Пусть д:11), ..., jc(fc) - линейно независимые векторы в Э?я и си ск -
произвольные числа. Совокупность всех векторов
у='21с]х*
3=1
представляет собой линейное пространство С 5R" (так называемое линейное
подпространство в Ш", порожденное k векторами лс*1*, ..., л(*>).
26
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
[ГЛ. I
Обратно, пусть некоторое множество 2 является линейным пространством в W
относительно введенных там операций сложения векторов и умножения
векторов на числа, т. е. С есть линейное подпространство в ?Яп. Тогда
любая максимальная система jcu', •••
..., линейно независимых векторов из ? образует его базис, т. е. для
каждого элемента у ? ? справедливо представление
(1.5.3), а число k(0 называется размерностью подпро-
странства 8:
dim i = k.
Введем понятие ранга матрицы.
Определение 5. Под рангом г = г(А) матрицы Л = [о/7,] понимается
максимальный порядок ее минора, отличного от нуля.
Если матрица А имеет тип п'Х.т, то, очевидно,
г (A) s^min (п, т).
Если столбцы матрицы А рассматривать как векторы пространства 31", то ее
ранг г (Л) представляет собой максимальное число линейно независимых
столбцов и, следовательно, совпадает с размерностью подпространства 2Г,
порожденного этими векторами:
г (Л) = dim 2Г.
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 121 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed