Лекции по математической теории устойчивости - Демидович Б.П.
Скачать (прямая ссылка):
функции матриц
Rl(X) = P(X) [Q (*)]-•
(правое частное) и
&(Х) = [(1(Х)Г1Р(Х)
(левое частное).
Пусть
С,, - (с%) (р=1, 2, ,..) (1.7,1)
42 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ |ГЛ. Г
- последовательность матриц одного и того же типа. В таком случае
матрица
С= lim Ср = ( lim С"Д'>,
р -* СО р СО
если она имеет смысл, называется пределом последовательности (1.7.1).
Отсюда, естественно, вводится сходимость матричных рядов
+ ^ + .(1.7.2)
А именно, матричный ряд (1.7.2) называется сходящимся, если существует
предел последовательности его частичных сумм
S- lim (Ui -f- -f-... -f- Up).
p -* CO
Предельная матрица S называется суммой ряда {1.7.2), т. е.
ОО
S=T,Ur-
р = 1
Заметим, что из определений нормы матрицы вытекает, что если Ср->-С, то
1) |1 С - Ср||->-0 и 2) jj Ср jji| С |j при р-> оо.
Если функция F (X) в некоторой области {X} = D представляет собой сумму
степенного ряда
ОО
F(X)= 2 АрХр
Р = о
ИЛИ
со
F(X)= 2 Х?Вр,
р = о
где Ар, Вр (р = 0, 1, 2, ...) - постоянные матрицы, то F (X) называется
аналитической функцией от X в области D.
§ 8. Матричные ряды
Определение 1. Матричный ряд
(1.8.1)
будем называть абсолютно сходящимся, если сходится ряд норм его членов
I U\!! ~Ь II II • • ¦ Ч- I! Up!! ¦ • ¦
где норма понимается в смысле 1 - J11 норм (см. § 4).
§ 81 МАТРИЧНЫЕ РЯДЫ 43
Теорема. Абсолютно сходящийся матричный ряд есть ряд сходящийся.
Доказательство. Пусть
UP = (U%}) (р= 1, 2, ...)
Из определения сходимости матричного ряда следует, что
00 СО
2 и,={ s
р = 1 р = 1
Так как для всех / и k справедливы неравенства
ир !1>
то на основании признака сравнения скалярных рядов все ряды
оо
2 Ufk абсолютно сходящиеся. Следовательно, матричный ряд
р = 1
(1.8.1) также сходится.
Следствие (признак сравнения). Если матричный ряд (1.8.1) абсолютно
сходящийся и выполнены неравенства
isvyi^li^ll (Р=1. 2- •••),
то матричный ряд
+ + + + также абсолютно сходящийся.
Пусть
Fp(X) = (f%}(X)) (р = 1,2,...)
- матричные функции одного и того же типа т X п, где переменная
матрица X ^ D.
Определение 2. Функциональный матричный ряд
СО
2 FP(X) (1.8.2)
р = 1
называется равномерно сходящимся в области D, если в этой области
сходятся равномерно все скалярные ряды
S ft(X) (/ = 1, ... , m; k = \ р=. 1
Нетрудно убедиться, что справедлив обобщенный признак Вейерштрасса: если
ряд норм
СО
2 <VA') " р = 1
44 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОЮ ИСЧИСЛЕНИЯ j ГЛ. I
мажорируется в области D сходящимся числовым рядом
СО
р = 1
(т. е. \\Fp(X •с;., р= I, 2, ...), то ряд (1.8.2; сходится абсолютно и
равномерно в области D.
§ 9. Матричные степенные ряды Рассмотрим степенной ряд
СО
Ц арХ", (1-9.1)
р = о
где X - (n X и)-матрица, причем для простоты будем считать,
что коэффициенты ap(p = 0, I, 2, ...) - числа, вообще говоря,
комплексные. Наряду с матричным рядом (1.9.1) рассмотрим скалярный
степенной ряд
СО
2 ар*?, (1.9.2)
р = I
где дс = S -|- гтг), и пусть R - его радиус сходимости.
Теорема I. Матричный степенной ряд (1.9.1) сходится абсолютно для каждой
матрицы X, для которой выполнено неравенство
\\X\\<R. (1.9.3)
Доказательство. Так как внутри круга сходимости \х\ < /? степенной ряд
(1.9.2) сходится абсолютно (см, [7]), то из неравенства (1.9.3) вытекает
сходимость ряда
СО
Ц I Яр II! XII'.
р = о
Но в силу свойств нормы
!i арХр || "S | ар 111 X ||р (р=. О, I, 2, ...).
Поэтому на основании признака сравнения степенной ряд (1.9.1) сходится
абсолютно в данной точке X.
Следствие. Если скалярный степенной ряд (1.9.2) сходится для любого х (т.
е. R = со), то соответствующий матричный ряд также сходится для любой
квадратной матрицы X.
Пусть
СО
F{X)^^apXp (1.9.4)
р = О
- функция, аналитическая в области
МАТРИЧНЫЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
45
Теорема 2. Если F (X) определена для матрицы X, то она определена также
для любой подобной матрицы SXS"1 (det S^O), причем справедлива формула
F (SXS-1) = SF (X) S"1.
(1.9.5)
Доказательство. Пусть
М*)= 2 аРХР-р = 1
Используя очевидные свойства подобных матриц S (X + Y) S'1 = SXS + SFS-1
и
S (XY) S-1 = SXS^SYS'1,
имеем
Fn (SXS1) = 2 ар (SXS-y = S ( 2 аРХр) S'1 = (X) S4
p = 0 p = 0
Отсюда, переходя к пределу при N-*-oo и учитывая, что
7)
lim />(Х) = F(X),
;V-+ со
получаем формулу (1.9.5). Теорема доказана,
Теорема 3. Матричный степенной ряд
(1.9.6)
(ар - скаляры) сходится, если все соб- рис j
ственные значения ль ... ,\п матрицы X находятся внутри круга сходимости
соответствующего скалярного ряда
Е аРхР>
р = 0
т. е. если выполнены неравенства
\K\<R (k=\.......n),
где R - радиус сходимости ряда (1.9.7) (рис. 1).
(1.9.7)
46 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ МАТРИЧНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ. I
Если же хотя бы одно собственное значение матрицы X г.е-жит вне
замкнутого круга сходимости то ряд (1.9.6)
расходится (см. [8]).
Доказательство. 1) Пусть
Fn(X)= арХ"
11 ш I'
- отрезок матричного ряда (1.9.6). Приводя матрицу X к жор-дановой
форме (§ 5), будем иметь
X = S~l diag [Ji (X,), ..., Jm(Km)]S,
где Хь ..., lm (ms^-in) - характеристические корни матрицы X, отвечающие
