Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Таблица 5
Комплексные собственные частоты квазинормальных мод Z1 и Z2 (о выражено в единицах M'1)
Z1 Z1
Q*
/ = і
/= 2
3
/ = 4
I= l
2
/= 3
/--= 4
0
0,24828 +0,0925Ot
0,45760 +0,0950Ot
0,65690 +0,09562/
0,85310 +0,09586/
0,11252 +0,10040/
0,37367 +0,08896/
0,59944 +0,09270/
0,80918 +0,09416/
0,2
0,25150 +0,0929It
0,46296 +0,09537/
0,66437 +0,09597/
0,86260 +0,09621/
0,11320 +0,10061/
0,37475 +0,08907/
0,60103 +0,09279/
0,81134 +0,09425/
0,4
0,26194 +0,09416/
0,47993 +0,09644/
0,68728 + 0,09697/
0,89100 +0,09716/
0,11537 +0,10123/
0,37844 +0,08940t
0,60705 +0,09306/
0,82020 + 0,09453/
0,6
0,28276 +0,09619/
0,51201 + 0,09802t
0,72919 , +0,09837^
0,94192 +0,09845/
0,11957 +0,10206/
0,38622 +0,08981/
0,62066 +0,09341/
0,84056 +0,09493/
0,8
0,32349 +0,09827/
0,57013 +0,09907/
0,80284 +0,09911/
1,03039 +0,09903/
1,12712 +0,10198/
0,40122 +0,08964/
0,64755 +0,09312/
0,88057 +0,09467/
0,9
0,36082 +0,09744t
0,61939 +0,09758/
0,86375 +0,09752/
1,10286 +0,09742/
0,13276 +0,09980/
0,41357 +0,08833/
0,67002 +0,09164/
0,91396 +0,09314/
0,95
0,38927 +0,09442/
0,65476 +0,09460/
0,90668 +0,09469/
1,1535 +0,09467/
0,13540 +0,09675/
0,42169 +0,08666/
0,68519 +0,08978/
0,93664 +0,09117t
0,999
0,43031 +0,08388t
0,70310 +0,08627t
0,96434 +0,08726/
1,22097 +0,08773/
0,13416 +0,09666/
0,43113 + 0,08354/
0,70387 +0,08608/
0,96510 +0,08712/
260
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
соотношения (199) между решениями, описывающими аксиальные и полярные возмущения, собственные частоты будут одинаковыми для Z<i+) и' Zlr\ Следует также отметить, что не существует чисто электромагнитных или чисто гравитационных квазинормальных мод: каждая квазинормальная мода колебаний сопровождается излучением и электромагнитных, и гравитационных волн, что является следствием уравнения (346).
В табл. 5 приведены значения комплексных собственных частот O1 и о2 (принадлежащих собственным функциям 2|±) и Zo**) квазинормальных мод для некоторых значений и /2.
49. Об устойчивости пространства-времени Рейсснера—Нордстрема
Все, что было сказано в § 34 об устойчивости черной дыры Шварцшильда относительно внешних возмущений, целиком переносится на черную дыру Рейсснера—Нордстрема, поскольку для вопроса об устойчивости единственно важно то, что потенциальные барьеры вне горизонта событий действительны и положительны — устойчивость следует именно из этого факта. Но в интервале между двумя горизонтами г_ < г < г+ ситуация меняется.
Хотя уравнения для Zl±) формально остаются неизменными, потенциальные барьеры И±} в интервале г_ < г < г+ отрицательны, и в соответствующей области изменения переменной г* они, в сущности, представляют собой потенциальные ямы, а не потенциальные барьеры (рис. 24). Таким образом, теперь уравнение, например, для Zl^ имеет вид (ср. с уравнением (151))
+ O2Zr' = - (I А 1/г5) [Qx2 + 2) г - Qf + 4Ql/r) ZF ' (/, /- J1 2; іфі\ r_<r<r+, оо>г#> — оо), (358)
где
^ = T + (1/2х+) In I r+ - г I - (1/2х_0 In I г - г_ |, (359)
X+ = (г+ - r_)/24, х_ = (г+ - rJ)?rL. (360)
Вследствие соотношения (199) между решениями, описывающими аксиальные и полярные возмущения, достаточно опять рассмотреть только уравнение (358). Поэтому удобства ради мы опустим верхний индекс, различающий эти два типа возмущений.
Важным следствием того факта, что теперь мы имеем дело с короткодействующим потенциалом, описывающим одномерную потенциальную яму, является изменение спектра. Уравнение (358) допускает теперь конечное число дискретных невырожденных связанных состояний:
о = ±ioj (/ = 1, 2; п = 1, 2, т).
(361)
49. Об устойчивости пространства-времени Рейсснера—Нордстрема 261
Помимо этих связанных состояний имеется и непрерывный спектр, соответствующий, как и раньше, всем действительным значениям а, с которым связана стандартная задача об отражении и прохождении волн. Однако соответствующие решения должны удовлетворять граничным условиям, отличным от тех, с которыми нам
0
I I I I I I
-5
M \
-
-10
I
і і і і V і
-
-5 -4 -3 -2-1 0 1 2 3 Ч
Рис. 24. Потенциальные ямы и V?~\ которые вызывают дисперсию возмущений в области между двумя горизонтами (в случае Q* = 0,75).
приходилось иметь дело до сих пор. Теперь нужно наложить следующие граничные условия:
[A(0)e-<°r*-\-B(e)e+i°r* (г~-^_ + 0; г^ + оо), Z V*> ~* j е-'"* (r ^r+- 0; г* - оо). [6Ьг>
Причина изменения граничных условий в том, что структура световых конусов в области между горизонтами допускает входящие волны, пересекающие горизонт событий г+ из внешнего мира, но не в обратном направлении.
Коэффициенты А (о) и В (о) в уравнении (362) связаны с амплитудами отражения и прохождения, которые были определены в гл. 4 (уравнения (175) и (176)), следующим образом:
