Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
где для удобства вместо г* мы написали х, а функции (х, ±а) и /2 (х, ±а) являются решениями одномерных волновых уравнений и удовлетворяют следующим граничным условиям:
h(x9 ±о)-+е*'°* (дг-^ + оо),
UiX9 ±о)-+е±*°* (х->-Оо). ( }
Как было показано в гл. 4 (уравнения (194) и (198)), функция /2 (*, —ст) удовлетворяет интегральному уравнению
X
f2(x, —o) = e-iax+ J (\/o)sino(x-x')V(x')f2(x', —o)dx'. (385)
—оо
Соответствующее интегральное уравнение для функции fx (х, ±а) имеет вид
OO
(х, ^a) = - { (1/а) sin а (х - *') V (*') /i (*, =Fcr) dx'. (386)
л;
Мы можем определить области аналитичности функций /2 (х, —а) и Z1 (х, ±а) в комплексной плоскости а с помощью метода, развитого Хартлем и Уилкинсом для более общего случая. Метод осно-
49. Об устойчивости пространства-времени Рейсснера—Нордстрема 265
ван на решении интегральных уравнений Вольтерра (385) и (386) методом последовательных приближений. (Как известно, обычно итерации интегральных уравнений типа Вольтерра гарантируют равномерную сходимость решений.) Рассмотрим сначала уравнение (385) и представим его решение в виде следующего ряда:
OO
h (х, -а) - e~iux + Ц fin) (х, -а), (387)
где
X
fin)(x, -О)= J Ck1 (1/(7) SiHG(X-X1)V (X1) fin~l) (Xu -о). (388)
—оо
Рекуррентное соотношение (388) позволяет написать следующее выражение для f2n) (х, —а):
/<"> {х, -а) =
хо х1 хп-1 п
= J CIx1 j dx2... J dx„n sin о (X^1-X1)V (Xt) е~шп/а, (389)
— OO —OO —OO I=I
где X0 = х. Это выражение после некоторых преобразований принимает вид
fin>(x, -о) = [е-ш/(2іо)п}х
хо xn-l п
X JdX1... J dx„n {[в«0<*«-!-*«> - I]V(XO). (390)
-OO -OO I = I
Поскольку
V (х) const e2yi+x (х->—оо), (391)
ясно, что каждый из множителей в выражении (390) стремится к нулю экспоненциально при х -> —оо для всех
Im о > —х+. (392)
Следовательно, интегралы, определяющие (х, —а), сходятся при всех п и Im а > —х+. Можно показать (Хартль и Уилкинс показали это в более общем случае), что ряд (387) сходится равномерно при всех а, если Im а > —х+. Область аналитичности функции f2 (х, —а), таким образом, включает в себя полностью верхнюю полуплоскость и бесконечную полосу шириной X+ в нижней полуплоскости *.
Можно, далее, показать, что вдоль мнимой оси при а = = —ітк+ (т = 1, 2, ...) идет ряд полюсов. Мы не будем давать строгое доказательство этого факта, а только укажем источник
* Я благодарен д-ру Розе Траутман, указавшей мне, что эквивалентный результат содержится в работе: М. J. Ablowitz, D. J. Каир, А. С. Newell, Н. Segur, Studies in Applied Mathematics, 53, 249, 1974.
266
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
сингулярностей. Асимптотическое поведение (391) функции V (х) таково, что мы можем ожидать, что существует следующее интегральное представление для V (х) при х < О (в духе преобразования Лапласа):
OO
V(x) = J й\іГ(\і)е**, (393)
2к+
где T (р,) содержит б-функции с носителями в различных точках, т. е. T — обобщенная функция. Поэтому первую итерацию /21) функции /2 (х, —о) можно представить в виде
X оо
/<'>(*, -a) = (e-""/2io) \ йхЛеШІХ-Хі)- 1] J а|хУ(|і)*«"'. (394)
—оо 2х+
Меняя порядок интегрирования, получаем
OO
/<•>(*, -а) =- (в-'в72т) f аііГ(іі)еих X
X
X J dxile2'0 <*-*•>-1]еіч*«-*). (395)
—оо
Интегрируя теперь по x1, приходим к следующему выражению:
OO
/2° (х, —а) - е-147* j dfxF (]i)/]i (\i - 2to) (396)
?x+
Ясно, что /2° (x9 —о) имеет сингулярности вдоль отрицательной мнимой оси, начинающиеся при Im о = —х+. Подобный же результат получается и для высших итераций. Хотя эти аргументы и не позволяют установить с определенностью существование разрезов и сингулярностей для полной суммы 2j fin) (х, —о)9 начинающихся с Im о = — х+, рассуждения можно уточнить и показать, что это действительно так, но мы не будем этого делать.
Аналогичным образом можно показать, решая интегральное уравнение (386) для (х9 ±а) методом последовательных приближений, что вследствие асимптотического поведения
K(*)-*const*-2*-* (х-> + оо) (397)
область аналитичности функции fx (х9—о) включает в себя всю верхнюю полуплоскость и бесконечную полосу ширины х_ в нижней полуплоскости, а область аналитичности функции J1 (х9 +а) включает в себя всю нижнюю полуплоскость и бесконечную полосу ширины х_ в верхней полуплоскости.
Из вышесказанного следует, что область аналитичности функции оВ (а), которая равна вронскиану функций /2 (х9—о) и /х (х9 +а), обязательно включает в себя полосу ширины х_ в верхней полуплоскости. (Фактически, можно показать, что функция
50. Некоторые замечания о статических решениях
267
Z1 (х, о) аналитична во всей комплексной плоскости а, за исключением сингулярностей вдоль мнимой оси при о = ітк_ (m = 1, 2 ...).) Во всяком случае, замыкая контур интегрирования в верхней полуплоскости и вычисляя интеграл У\и, можно показать, что вследствие аналитичности функции Z (а) в верхней полуплоскости функция YfU должна убывать при и -> оо по крайней мере как ег*-ич т. е.
