Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Во избежание путаницы со знаками «+», которые используются и как верхние индексы для различения аксиальной и полярной части в Z\'b\ и как нижние индексы для различения функции Y+c от функции Y_t, удовлетворяющей комплексно сопряженному уравнению, выпишем в явном виде асимптотические соотношения (убрав верхние значки) для Z(+). Имеем
Z1 -> e+ior^ Y+i —№e+iar*, X+1 2io\ir2e+?ar*,
у_. ^ (K*/4o2) e+ior*/r\ X4+ (Ku2iav) e^\
(285)
, Z1 -> e-i°r% Y+1 + - (Ki/4o2) e-^*/r\ X+1 ~> - (Кіі2іо\і) e~'°r; Y^i -> —We-*'*, X4 —2io\ir2e~*r*\
/-*->---oo:
Zr+e+ior\ Y+i + 4io[ia- (Mr+- Ql)/'г\)е+іог%
rl 4 [ia + (Mr+ - Ql)Ir+) [ia + 2(r+~ M)Jr+] '
46. Прямое вычисление скаляров
247
2|i[io+(Afr+-Qi)/r;i ; (286)
7.^е-(аг. V > Д2 /^(1 + 2^4)^*
Є ' +' г+ 4 [/а-(Mr+ -Q;)/r+][<a-2(r+-M)/r+] '
Y-і -> 4йт [/0 ¦f {Mr+ - Q2.)/r+1 «T'0", і *+'""*¦ "- 2p[io-(Mr+-Ql)ZrI] '
^-/—2^4-(1+1?:)«-""--
Чтобы получить соответствующие соотношения для Zi~\ необходимо, как следует из уравнения (280), лишь заменить Ki на Kh
46. Прямое вычисление вейлевских и максвелловских скаляров через возмущения метрики
Как говорилось, основной целью изучения возмущений черной дыры Рейсснера—Нордстрема является выяснение особенностей процессов рассеяния и поглощения электромагнитных и гравитационных волн, падающих на черную дыру. Для этого необходимо связать функции, появляющиеся в теории возмущений, развитой в предыдущих параграфах, с амплитудами соответствующих волн. Функции Z[±) должны определять амплитуды падающей, отраженной и прошедшей волн, поскольку в пределе
-> 0 уравнения, которым подчиняются функции Z2^, сводятся к уравнениям Церилли и Редже—Уилера. В общем случае следует ожидать, что требуемые амплитуды являются некоторыми линейными комбинациями функций Z\+) и Z2+) или комбинациями функций Z(f} и Z2-\ Вопрос в том, какие конкретно это комбинации. Решения уравнений Ньюмена—Пенроуза, полученные в § 44, не дают прямого ответа на этот вопрос, поскольку они были получены в специальной калибровке, вследствие чего функции R±2 и R±\, через которые были выражены решения, не имеют простой физической интерпретации. Поэтому мы вычислим вейлевские скаляры W0 и и максвелловские скаляры ф0 и </>2 с самого начала, воспользовавшись выражениями для тензора Римана и тензора Максвелла.
Поскольку метрики Шварцшильда и Рейсснера—Нордстрема отличаются только определением функции горизонта А (равной r2e2v в обоих случаях), анализ, проведенный в § 31, можно большей частью повторить и в настоящем случае. В частности, выра-
248
Глава 5. Решение Рейсснера—-Нордстрема
жения для Ч,в0, полученные в гл. 4 (формулы (334), (339) и (350)), остаются справедливыми (ср. с. соотношениями (293) и (294) гл. 1).
Вычисление аксиальной части ^0, равной Im 1F0, начнем с уравнения (339) гл. 4:
Заменим первый член в квадратных скобках выражением
+ (4^7-) = ^(^^-^ + 2^-^-')- (288)
(Это не что иное, как уравнение (140), в котором величина В заменена на Н\') в соответствии с определением (143).) После некоторых перегруппировок членов получаем
.^¦« + ^(^-».0-?- + -?-«-}-^-. (289)
причем
1/г - v. г = (г2 ~ 3Mr + 2Ql)/rA. (290)
Полагая, как и в уравнении (143),
Q = rm-\ (291)
найдем, что после некоторых упрощений члены в фигурных скобках в правой части уравнения (289) становятся равными
+ -й-Яґ + -%г яг' + -ж(г* - Шг+2<з*) (r ^f- + ) •
(292)
Заменяя производные по г производными по г% и вспоминая, что
= (2А3) (г2 - 3Mr + 2Ql) (293)
(ср. с соотношением (273))» перегруппируем члены в уравнении (292) следующим образом:
W<W"-'+ 2*)^ +-??-*!-' +
+ № + r2~m^+2Ql ) + - -Ш ^ + 2/а)] ЯГ'. (294)
—3/2
46. Прямое вычисление скаляров
249
Теперь можно переписать уравнение (289) в виде
—io Im Y0 - (г3/2Д2) {(W'-' + 2ш) A+Ht +
+ (А/г5) [(р2 + 2) г - 6М + 4Q2Jr] #Г +
+ (A//5) (2Q,p) Я[-))C7^2/sin2 0. (295)
Функция Ht удовлетворяет уравнению (144), следовательно,
—ш Im Y0 = (г3/2А2) {+ 2ia) A+ + Л2} Я^> C^i2/sin2 0. (296)
Решая уравнения (147) и (148), мы можем представить функцию Ht в виде линейной комбинации функций Zt и Zt- Перепишем эти уравнения следующим образом:
(297)
(299)
Z\~> = foi (Яг - ?2)11/2 COS ф + //<-> Sin ?),
2|-> = to fa - <72)Г/2 (Я<-) cos ф - Я<-> sin ?), где
81„ 2ф = 2(-^)1/2 =-,„ . (298)
Решения можно записать в виде
Iqі (qi - Яг)]т Я(-> = cos ф - Zt sin if,
[<7i (qi - q2)]U2 Ht = Z[-} sin ф + Z2-* cosi|x
Подставляя теперь #2_) в уравнение (296), получаем
-to -<72)F Im Y0 =
= (/-72A2) ((№<-> + 2m) A+ + Л2) (zt cos ^ +
+ Zt sin ?) СДОвіп2 9. (300)
Используя уравнения, которым удовлетворяют функции Zl~\ можно переписать последнее соотношение следующим образом (ср. с уравнением (345) гл. 4):
-ia[qx fa-^)P Im Y0 =
= (r3/2A2) [[Vt Zt + (W^ + 2Ia)A+Zt*] cos^ +
+ [Vtzt + (1Г(-> + 2ia) A+Zt] sin ?) CJ+'Іhin2Є. (301)
Наконец, с помощью уравнения (275) из теории преобразований получаем важное соотношение