Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Чандрасекар С. -> "Математическая теория черных дыр: в 2-х томах" -> 85

Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.

Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр: в 2-х томах — M.: Мир, 1986. — 276 c.
Скачать (прямая ссылка): mathem-theory.djvu
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 97 >> Следующая


Во избежание путаницы со знаками «+», которые используются и как верхние индексы для различения аксиальной и полярной части в Z\'b\ и как нижние индексы для различения функции Y+c от функции Y_t, удовлетворяющей комплексно сопряженному уравнению, выпишем в явном виде асимптотические соотношения (убрав верхние значки) для Z(+). Имеем

Z1 -> e+ior^ Y+i —№e+iar*, X+1 2io\ir2e+?ar*,

у_. ^ (K*/4o2) e+ior*/r\ X4+ (Ku2iav) e^\

(285)

, Z1 -> e-i°r% Y+1 + - (Ki/4o2) e-^*/r\ X+1 ~> - (Кіі2іо\і) e~'°r; Y^i -> —We-*'*, X4 —2io\ir2e~*r*\

/-*->---oo:

Zr+e+ior\ Y+i + 4io[ia- (Mr+- Ql)/'г\)е+іог%

rl 4 [ia + (Mr+ - Ql)Ir+) [ia + 2(r+~ M)Jr+] '

46. Прямое вычисление скаляров

247

2|i[io+(Afr+-Qi)/r;i ; (286)

7.^е-(аг. V > Д2 /^(1 + 2^4)^*

Є ' +' г+ 4 [/а-(Mr+ -Q;)/r+][<a-2(r+-M)/r+] '

Y-і -> 4йт [/0 ¦f {Mr+ - Q2.)/r+1 «T'0", і *+'""*¦ "- 2p[io-(Mr+-Ql)ZrI] '

^-/—2^4-(1+1?:)«-""--

Чтобы получить соответствующие соотношения для Zi~\ необходимо, как следует из уравнения (280), лишь заменить Ki на Kh

46. Прямое вычисление вейлевских и максвелловских скаляров через возмущения метрики

Как говорилось, основной целью изучения возмущений черной дыры Рейсснера—Нордстрема является выяснение особенностей процессов рассеяния и поглощения электромагнитных и гравитационных волн, падающих на черную дыру. Для этого необходимо связать функции, появляющиеся в теории возмущений, развитой в предыдущих параграфах, с амплитудами соответствующих волн. Функции Z[±) должны определять амплитуды падающей, отраженной и прошедшей волн, поскольку в пределе

-> 0 уравнения, которым подчиняются функции Z2^, сводятся к уравнениям Церилли и Редже—Уилера. В общем случае следует ожидать, что требуемые амплитуды являются некоторыми линейными комбинациями функций Z\+) и Z2+) или комбинациями функций Z(f} и Z2-\ Вопрос в том, какие конкретно это комбинации. Решения уравнений Ньюмена—Пенроуза, полученные в § 44, не дают прямого ответа на этот вопрос, поскольку они были получены в специальной калибровке, вследствие чего функции R±2 и R±\, через которые были выражены решения, не имеют простой физической интерпретации. Поэтому мы вычислим вейлевские скаляры W0 и и максвелловские скаляры ф0 и </>2 с самого начала, воспользовавшись выражениями для тензора Римана и тензора Максвелла.

Поскольку метрики Шварцшильда и Рейсснера—Нордстрема отличаются только определением функции горизонта А (равной r2e2v в обоих случаях), анализ, проведенный в § 31, можно большей частью повторить и в настоящем случае. В частности, выра-

248

Глава 5. Решение Рейсснера—-Нордстрема

жения для Ч,в0, полученные в гл. 4 (формулы (334), (339) и (350)), остаются справедливыми (ср. с. соотношениями (293) и (294) гл. 1).

Вычисление аксиальной части ^0, равной Im 1F0, начнем с уравнения (339) гл. 4:

Заменим первый член в квадратных скобках выражением

+ (4^7-) = ^(^^-^ + 2^-^-')- (288)

(Это не что иное, как уравнение (140), в котором величина В заменена на Н\') в соответствии с определением (143).) После некоторых перегруппировок членов получаем

.^¦« + ^(^-».0-?- + -?-«-}-^-. (289)

причем

1/г - v. г = (г2 ~ 3Mr + 2Ql)/rA. (290)

Полагая, как и в уравнении (143),

Q = rm-\ (291)

найдем, что после некоторых упрощений члены в фигурных скобках в правой части уравнения (289) становятся равными

+ -й-Яґ + -%г яг' + -ж(г* - Шг+2<з*) (r ^f- + ) •

(292)

Заменяя производные по г производными по г% и вспоминая, что

= (2А3) (г2 - 3Mr + 2Ql) (293)

(ср. с соотношением (273))» перегруппируем члены в уравнении (292) следующим образом:

W<W"-'+ 2*)^ +-??-*!-' +

+ № + r2~m^+2Ql ) + - -Ш ^ + 2/а)] ЯГ'. (294)

—3/2

46. Прямое вычисление скаляров

249

Теперь можно переписать уравнение (289) в виде

—io Im Y0 - (г3/2Д2) {(W'-' + 2ш) A+Ht +

+ (А/г5) [(р2 + 2) г - 6М + 4Q2Jr] #Г +

+ (A//5) (2Q,p) Я[-))C7^2/sin2 0. (295)

Функция Ht удовлетворяет уравнению (144), следовательно,

—ш Im Y0 = (г3/2А2) {+ 2ia) A+ + Л2} Я^> C^i2/sin2 0. (296)

Решая уравнения (147) и (148), мы можем представить функцию Ht в виде линейной комбинации функций Zt и Zt- Перепишем эти уравнения следующим образом:

(297)

(299)

Z\~> = foi (Яг - ?2)11/2 COS ф + //<-> Sin ?),

2|-> = to fa - <72)Г/2 (Я<-) cos ф - Я<-> sin ?), где

81„ 2ф = 2(-^)1/2 =-,„ . (298)

Решения можно записать в виде

Iqі (qi - Яг)]т Я(-> = cos ф - Zt sin if,

[<7i (qi - q2)]U2 Ht = Z[-} sin ф + Z2-* cosi|x

Подставляя теперь #2_) в уравнение (296), получаем

-to -<72)F Im Y0 =

= (/-72A2) ((№<-> + 2m) A+ + Л2) (zt cos ^ +

+ Zt sin ?) СДОвіп2 9. (300)

Используя уравнения, которым удовлетворяют функции Zl~\ можно переписать последнее соотношение следующим образом (ср. с уравнением (345) гл. 4):

-ia[qx fa-^)P Im Y0 =

= (r3/2A2) [[Vt Zt + (W^ + 2Ia)A+Zt*] cos^ +

+ [Vtzt + (1Г(-> + 2ia) A+Zt] sin ?) CJ+'Іhin2Є. (301)

Наконец, с помощью уравнения (275) из теории преобразований получаем важное соотношение
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 97 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed