Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
А (о) = 1/Г* (о) = MT1 (-а);
В (а) = R* (о)/Т* (о) = R1 (-O)IT1 (-а), (363)
причем
|Л(а)|*-|В(а)|*= 1. (364)
262
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
Таблица 6
Коэффициенты усиления, соответствующие потенциалам V[+) и V$>+) при Ql = 0,75Ж2
(T
для V1
для V2
(T
для Vi
для V2
0,009375
2,7746
2,7747
0,50
1,2631
1,2653
0,01875
2,7652
2,7655
0,55
1,2165
1,2169
0,0375
2,7287
2,7299
0,65
1,1494
1,1471
0,05
2,6923
2,6944
0,70
1,1248
1,1220
0,075
2,5962
2,6005
0,75
1,1044
1,1016
0,10
2,4785
2,4853
0,80
1,0877
1,0849
0,15
2,2201
2,2312
0,85
1,0741
1,0710
0,20
1,9781
1,9914
0,90
1,0628
1,0596
0,25
1,7764
1,7898
0,95
1,0534
1,0502
0,30
1,6168
1,6286
0,100
1,0453
1,0423
0,35
1,4928
1,5022
0,105
1,0384
1,0358
0,40
1,3967
1,4035
0,110
1,0325
1,0304
0,45
1,3219
1,3262
0,115
1,0276
1,0257
В табл. 6 приведены значения коэффициентов усиления \А (а).|2 для Ql = 0,75/И2. Мы видим, что | А (а) |2, и, следовательно, также и I В (о) |2 стремятся к конечным пределам при о -> 0. Причина этого в существовании связанных состояний с нулевой энергией в потенциальных ямах V1 и V2 (см. библиографические замечания к настоящей главе).
При анализе излучения, приходящего к горизонту Коши г_, нужно различать края ЕС и EF на диаграмме Пенроуза (рис. 14). По этой причине мы восстановим явную зависимость решений от времени, описываемую множителем exp (tot), и, помня, что в интервале г_ < г < г+
и = г* + /, V = г* - / (365)
(ср. с уравнением (51)), вместо уравнения (362) напишем
Z (г#, t) ~>e~iov + [А (о) - \]е~ш + В (о) е+1°». (366) Если предположить, что поток излучения, идущего от D'Су равен Z (v), то
OO
Z(a) = (l/2n) J Z(v)eiavdv. (367)
—оо
Этот поток рассеивается по области между двумя горизонтами и на горизонте Коши равен
Z(^, t)-+X(v) + Y{u){v-*oo; U-+00), (368)
OO
X {V) = j Z (о) \А (о) - I] e-im> da, (369)
— OO
OO
Y(U)= j Z(a)B(a)eiauda. (370)
49. Об устойчивости пространства-времени Рейсснера—Нордстрема 263
Нас интересуют, однако, не величины X (v) или Y (и) сами по себе, а связанные с ними величины.
Как уже объяснялось в § 38, нас прежде всего интересует излучение, которое принимает наблюдатель в момент пересечения им (или ею) горизонта Коши. Для вычисления этой величины рассмотрим наблюдателя, свободно падающего вдоль радиальной геодезической. 4-скорость наблюдателя U определяется уравнением (65) при L = O. Имеем, таким образом,
U' - {г2/A) E1 W* = (г2/А) (E2 - AIr2Y'2, W = = 0, (371)
где в выражении для Ur* был выбран положительный корень в соответствии с времениподобным характером координаты г в интервале г_ < г < г+. Следует также отметить, что E может принимать отрицательные значения, поскольку в том же интервале координата t пространственноподобна.
Если поле излучения описывается функцией Z (г*, /), то поток излучения полученный свободно падающим наблюдателем, равен
T = WZ9 і = (г2/A) [EZ, t + (E2~ Mr*)w Z, гЛ- (372) По мере приближения к горизонту Коши
Z (r„, t)-+X(t-rJ + Y(t + и) (373)
(ср. с уравнениями (369) и (370)). Следовательно,
Z,^X_, + yw, Z. г.+У. и (374)
и выражение (372) для ST принимает вид
Г-+(гЩ) ^.[f-fP-A/^Hy^f + fF-Ami. (375)
На линии EF величина и остается конечной, тогда как и—>• оо, следовательно, на этой линии
г* -> -К
и -> 2r# -> — (1/х_) In I г — r_ I (г -> г_ на (376)
Если E > 0, то член, пропорциональный остается конеч-
ным, а член, пропорциональный KjU, расходится как 1/А. Поэтому
3~ef - [2ri/(r+ - r_)] EY, и?-и (и оо на ?F). (377)
На линии ЕС величина и остается конечной, тогда как v —> оо, следовательно, на этой линии
г* -> (378)
V -> 2г* -> — (1/х_) In I г — г. I (г -> г. на ЕС).
Если ? < 0, то член, пропорциональный YiUl остается конечным, а член, пропорциональный X1 _v, расходится. Поэтому
Рве г [2rL/(r+ - r_)] IEIX, _LeK-u (у -> оо на ?С). (379)
264
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
Из уравнений (377) и (379) следует, что от поведения функций Y9 и и X9 _0, заданных интегральными представлениями
OO
Y,u= \ io[R1 (-O)ZT1 (-о)]Z(о)е«» do, (380)
— OO OO
Х,-0= J ш[1/Г!(—о)-l]Z(ff)e-'°»da, (381)
— OO
зависит, расходятся или ограничены потоки принимаемого наблюдателем излучения на горизонте Коши на линиях EF и ЕС. В уравнениях (380) и (381) вместо А (о) и В (о) подставлены значения из уравнения (363). Если мы хотим вычислить эти интегралы по бесконечной области методом интегрирования по контуру (очевидно, это самый удобный способ в данном случае), замыкая контур в верхней полуплоскости (при определении поведения функции У[їИ, когда и оо) или в нижней полуплоскости (для определения поведения функции X9 _0 при V -> оо), мы должны знать области аналитичности функций А (о) и В (а), определенных уравнениями (363).
В соответствии с уравнениями (180) гл. 4 определения функций А (о) и В (о) можно переписать следующим образом:
