Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
_ IZp)R1 (g) cos т|;-Z^°°>fl2 (a) sin4; J2 .
kem ~ |z}«»cost-2<-)sint|2 " (344)
Из этого выражения ясно, что амплитуда электромагнитной волны H1 с точностью до постоянного множителя равна
H1 = Z1 cos — Z2 sin op, (345)
т. е. равна величине, которая удовлетворяла системе связанных уравнений (183) и (184) до их расцепления, приводящего к уравнениям для Z1 и Z2.
К результатам (344) и (345) можно прийти и другим путем, сведя все к задаче, в которой асимптотики решений для Х±]-играют ту же роль, что и асимптотики Y±i при исследовании гравитационных волн. Однако доказательства уже не будут столь простыми.
б. Матрица рассеяния. Покажем теперь, что в общем виде процесс рассеяния и поглощения электромагнитных и гравита-
256
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
ционных волн черной дырой может быть описан симметричной унитарной матрицей рассеяния четвертого порядка, которая, кроме того, удовлетворяет условию обратимости времени.
Мы видели, что амплитуды электромагнитных и гравитационных волновых возмущений H1 и H2 соответственно для некоторой заданной частоты связаны с функциями Z1 и Z2 соотношениями
H1 = Z1 cos Ip-Z2 sin гр, H2 = Z2 cos гр -f Z1 sin гр (346)
(напомним, что здесь опущены верхние индексы «-f» и «—», различающие аксиальные и полярные возмущения). Обратные соотношения имеют вид
Z1 = H1 cos гр + H2 sin гр, Z2 = H2 cos гр — H1 sin гр. (347)
• Предположим теперь, что чисто электромагнитная волна
амплитуды Н[п падает на черную дыру справа. Тогда H20 = 0 и
Z[r) = H\r) cos гр, ZP = —H[r) sin гр. (348)
Каждое из этих Z-полей приводит к появлению амплитуд отраженной и проходящей волн, равных
ZP = ZVR1 (о), Z\l) = Z\r)Tt (о), (349)
а эти амплитуды, сгруппированные в соответствии с уравнениями (346), дают амплитуды отражения и прохождения как для электромагнитных, так и для гравитационных волн. Таким образом,
H[r) = H V (R1 cos2 гр + R2 sin2 гр), (350а)
#<'> = Н[п (T1 cos2 гр + T2 sin2 гр), (3506)
HV = H\r) (R1 - R2) sin гр cos гр, (350в)
EV = H\r) {Ti - T2) sin гр cos гр. (35Or)
Если, с другой стороны, чисто гравитационная волна амплитуды Н2Г) падает на черную дыру справа, то Н[Г) = 0 и
ZV = H1V sin гр, ZV = HV cos гр. (351)
Отражение и прохождение этих падающих Z-полей, сгруппированных аналогичным образом, приводят к следующим амплитудам отраженных и проходящих электромагнитных и гравитационных волн:
HV = HV (Ri - A2) sin гр cos гр, (352а)
Н[1) = HV (Ti - T2) sin гр cos ip, (3526)
HV = HV (Ri sin2 ip + #2 cos2 гр), (352в)
HV = HV (Tx sin2 гр + T2 cos2 гр). (352r)
47. Задача об отражении и прохождении волн
257
Сравнение уравнений (350в) и (350г) и уравнений (352а) и (3526) показывает, что преобразование энергии падающей волны одного типа в энергию отраженной и проходящей волны другого типа полностью симметрично по отношению к тому, какого типа волна — электромагнитная или гравитационная. Это, очевидно, следствие условия обратимости времени.
Рис. 22. В случае черной дыры Рейсснера — Нордстрема электромагнитные и гравитационные волны, падающие на потенциальный барьер с противоположных сторон из ±оо, отражаются на н=оо, и для описания этого процесса необходима матрица рассеяния четвертого порядка.
Рассмотрим далее ситуацию, показанную на рис. 22. Матрица рассеяния, описывающая преобразование
(Ш\ н{'\ н?>, /?«)-(?[", н\г\ ні'\ нП (353)
может быть сразу же выписана, если воспользоваться уравнениями (350) и (351). Получаем
Н\п Tn Rn T21 R2I
H\l) Rn Tn R2x T21 S =
Т\2 R\2 Т22 R22
H2l) R\2 Т\2 R22 T22
где
R11 = R1 cos2 я|) + R2 sin2 яр, T11 = T1 cos2 -ф + T2 sin2 <ф,
R22 = R1 sin2 ^ +R2 cos2 ?, T22 - T1 sin2 ф + T2 cos2 op,
R12 =1 R21 = (Ri — R2) sin l|) COS lf>,
T12 = T21 = (T1 — T2) sin ф cos ?. (355)
Несложно проверить, что матрица рассеяния S, определяемая уравнением (354), унитарна вследствие унитарности матриц S1 и S2:
SS=I. (356)
н[г)
н\1)
н\1)
н[г)
—
ні1)
Н[1)
(354)
258
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
в частности, выполняются тождества, требуемые законом сохранения энергии:
О 0,4 0,8 1,2 0 0,4 0,8 1,2
Mo
Рис. 23. Зависимость коэффициентов конверсии Ст (слева) и С(-) (справа) от а и от Q* для аксиальных и полярных возмущений в случае I= 2. У кривых указаны значения Q*.
48. Квазинормальные моды
черной дыры Рейсснера—Нордстрема
• Черная дыра Рейсснера—Нордстрема обладает квазинормальными модами, удовлетворяющими тем же граничным условиям и имеющими тот же смысл, что и квазинормальные моды шварц-шильдовой черной дыры, описанные в § 35. Существует, однако, одно важное отличие: квазинормальные моды могут быть определены для каждого из уравнений для функций Z^ {і — 1, 2). Поскольку потенциалы У[±) действительны и положительны (в области пространства-времени, внешней по отношению к горизонту событий), мнимые части комплексных собственных частот квазинормальных мод положительны. Кроме того, вследствие
