Математическая теория черных дыр: в 2-х томах - Чандрасекар С.
Скачать (прямая ссылка):
Элементы этой матрицы (представляющие амплитуды отражения и прохождения) удовлетворяют условиям унитарности (ср. с уравнениями (181)-(186) гл. 4):
Rt (о) Т* (о) + T1 (о) R* (о) = О, I Rt (a)] = | Rt (о) |, (325)
I ИР +171I (а) P=L (326)
(Здесь через R (о) обозначена величина, которая в § 28 обозначалась R2 (о).) Из соотношений (325) и (326) следует, что
Si(CJ)S1(Q)=I, (327)
где — матрица, эрмитово сопряженная матрице Sj (т. е. транспонированная и комплексно сопряженная).
47. Задача об отражении и прохождении волн
253
Матрица рассеяния обладает важным свойством относительно
«обратимости времени»: если Z[r) и Z\L) — амплитуды волн, падающих на барьер справа и слева (рис. 21), то амплитуды
Рис. 21. Падающие с бесконечности и уходящие на бесконечность волны отражаются потенциальным барьером. Матрица рассеяния (328) связывает амплитуды волн, падающих на барьер, с амплитудами волн, отраженных барьером.
волн, отраженных влево (Z\l)), и амплитуды волн Z\r), женных вправо, равны
Nt
S1
zl°
—
отра-
(328)
Вследствие унитарности имеем
й\'\ Zi0I = [Z}0, ZHS,. (329)
Наша задача состоит в том, чтобы связать матрицы рассеяния s1 и s2 с матрицей рассеяния четвертого порядка, которая описывает отражение и прохождение электромагнитных и гравитационных волн, одновременно падающих на черную дыру Рейсснера— Нордстрема. Другими словами, нужно найти связь между амплитудами волн двух типов и функциями Z1 и Z2. С этой целью рассмотрим граничные условия, которым удовлетворяют решения Y+i и Y_t, полученные из решений для Z1. Функции Zi удовлетворяют следующим граничным условиям:
' Zj-V"* + Z^Rt (о) e-iar* (г, - + оо), ІЇҐТі (о) e+iar* (г.— -оо). Асимптотики для функций Y±i, получаемых из решения для Zi,
\ Y+Ve+iar*/r + У$1)е-*агЧг* (г. - + оо),
Y^e+^/A2 (/-. + -°о), уОп)е+/сг./г + Y^t)rze-ior, ^ ^ +
Y^W"' (/•.->-оо).
Z1-
имеют вид
(W)Y+,
r*Y_r
(330)
(331) (332)
254
Глава 5. Решение Рейсснера—Нордстрема
Из соответствия асимптотик, выписанных в уравнениях (285) и (286), следует:
Yf? = -4G2Z^, У<[?> = - (#;/4а2) Z1I00K
У <ff > = - (/(,/4а2) Zi"» Л (а), У<3'> = -4a2Z<~>^ (а); (333)
У?> = 4to [to - (Mr+ - QftlrftrfZ^Tt (а),
yCtr)=JL/,4-J2L^_^1°°^ (Q)__(334)
r+ V ^r+ J 4 [fa + (Mr+ - Q2)/4] [;a + 2 (r+ - M)Zr+] *
Рассмотрим сначала потоки падающих и отраженных гравитационных волн. Напомним, что их величина определяется ведущими членами, пропорциональными г-1 в асимптотике скаляров Y0 и Y4, представляющими приходящие и уходящие волны соответственно. Выражения (302) и (303) для Y0 и Y4 дают (ср. уравнения (368) и (369) гл. 4)
4Sr - ТІ I У® cos * + ОД sin ?12, (335)
Из выражений для У+1"* и У^еГ) в уравнениях (333) можно извлечь величину коэффициента отражения для падающей гравитационной волны:
р 1 Z^k2 (a) cos ф + Zfflfi, (a) sin i|? '2
I cos i|? + Z<?>sini|j|:
Отсюда следует, что амплитуда гравитационной волны с точностью до постоянного множителя пропорциональности равна
H2 = Z2 cos г|> + Z1 sin (338)
Это та самая величина, которая удовлетворяла системе связанных уравнений (144) и (145) и системе уравнений (183) и (184), прежде чем мы расцепили их, чтобы получить уравнения для Z1 и Z2 (ср. с уравнениями (299)).
а. Тензор энергии-импульса максвелловского поля и поток электромагнитной энергии. Тензор энергии-импульса максвелловского поля, записанный через скаляры </>0, фг и </>2, равен
AnTtJ = {ФоФ^ПіПі +¦ Ы1Ы\ + Ц\ф\ [1{іпп + т(гтУ)] -
— 4lhnami) — 4*hhimi) + ЦїФіміЩ] +
-f- Комплексно сопряженные члены. (339)
В фоновой метрике Рейсснера—Нордстрема единственным не равным нулю скаляром является фі( = Q#/2r2). По предположению, возмущения поля, описываемые </>0, ф2 и 8фъ спадают на бесконеч-
?Г ~~ I 7<оо)ЛЛ«.,Ь I 7(00).:^,,,12 * (ЗЗ7)
47. Задача об отражении и прохождении волн
ности по крайней мере как 1/г, откуда следует, что для вычисления возмущенного значения тензора T^ не нужно учитывать возмущения базисных векторов. Опуская члены, спадающие на бесконечности быстрее, чем г~2, получаем
AnT1J = {ФоФоЪП;- + ф2фШ} + Щ\ Ц* [1цпп + т(?тп] -
— Щ Ьфхп{1тп — ЩхфІїцт}) + 2ф2фІтіт]\ +
+ Комплексно сопряженные члены + О (Г3) (г-^оо). (340)
Подставляя в это уравнение компоненты базисных векторов, перечисленные в уравнении (108), находим, что поток энергии в единицу времени и в единице телесного угла равен
-??- = lim (г2Тд = Hm (г2/4л) (-V41 <j>012 + | h f). (341)
Из выражений для ф0 (уравнение (311)) и для </>2 (уравнение (314)) следует, что с точностью до одинакового постоянного множителя пропорциональности поток для падающих электромагнитных волн 2І°о) ехр (+шг*) равен
-??^ = (1/4я) (P1, 9)216о41 Z}00* cos ф - Z^' sin ф I2, (342) а поток для отраженных волн Z\x)Ri (о) ехр (—ior+) равен
d2^?° - (1/4я) (Я/, е)21б(Т41 Z[^R1 (a) cos ф - Z^R2(о) sin ф |2.
(343)
Соответственно этому коэффициент отражения для падающих электромагнитных волн равен
