Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
~hb'+c)=f\b')+hc'), >Vno=/V)n/V)- (8)
-і
в) Если Ъ' — двусторонний идеал кольца А’, то Ъ — f (6') — двусторонний идеал кольца А, содержащий а, и Alb изоморфно А’/Ъ'.
Непосредственная проверка показывает, что если Ъ' — левый
(соответственно правый, двусторонний) идеал кольца А', то -1
b = f(b') есть левый (соответственно правый, двусторонний) идеал кольца А, содержащий а; так как / отображает А на А’, то оно отображает 6 на 6', и а) доказано. Обратно, если 6 — левый идеал кольца А, то /(b) — левый идеал кольца А', ибо если х? b и z'g А’, то существует z?A такое, что z'—f (z), и значит, г’f (х) = f (z) f (х) = f (zx) ? f (Ъ); доказательство для правых идеалов аналогично. В частности, если bZDtt, то 6 насыщено по
- 1
сравнению mod а, так что для 6' =/(b) имеем Ь = /(6'), чем доказана первая часть утверждения б); соотношения же (8) выполняются для произвольных подмножеств Ъ' и с' кольца А' (§ 6, Ii013).
Можно также заметить, что сумма двух идеалов есть их верхняя ераш, в множестве всех идеалов кольца А', упорядоченном по включению, а пересечение — нижняяя грань; и то же в множестве всех идеалов кольца А, содержащих а; формулы (8) вытекают тогда из того,
что взаимно однозначное отображение 6'—> f (Ь') первого из этих множеств на второе — воврастающее.
152 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ ГЛ. I. § 8
Наконец, если 6' — двусторонний идеал кольца А и -і.
Ь = /(Ь'), то изоморфизм А/Ь и А'/Ъ' вытекает из первой теоремы об изоморфизме (§ 4, теорема 2).
Для подколец В кольца А, содержащих а, кольца /(В) и В/а обычно отождествляются', в частности, идеал /(6) кольца А', соответствующий идеалу 6 U а, обозначают Ь/а; поэтому в случае двустороннего идеала Ь утверждение в) теоремы 5 выражают, говоря, что факторкольцо (А/а)/(Ыа) изоморфно А/Ь.
10. Произведения колец
Из замечаний, сделанных в п°5 § 4 и п°1 §5, явствует, что произведение структур семейства (^4t) гомологичных колец с операторами также есть структура кольца с операторами; это приводит к следующему определению:
Определение 9. Произведением семейства (Al)Hi гомологичных колец с операторами называется множество A= Л
іє/
наделенное структурой кольца с операторами, определяемой гаконами
((Si). (2/0)-^(^ + ^). (а, (х1))->(ах1)
(где а пробегает все операторы колец A1).
Важным частным случаем произведений колец является кольцо, образованное всевозможными отображениями множества E в кольцо А, совпадающее с произведением Ae (см. § 4, п° 5).
Если B1 — подкольцо (соответственно левый идеал, правый идеал) кольца At, то B= [J-Bt есть подкольцо (соответственно
Ibf
левый идеал, правый идеал) кольца Л=[]Л,,. В частности,
^i
пусть J — непустое подмножество множества I, K = CJ и Bi = Al для ig/, S1 = {0} для і Є К; тогда подкольцо Aj= [] B1
ЦІ
есть двусторонний идеал в А, структура кольца (с операторами) которого изоморфна структуре кольца Aj= []А; Aj часто
11
КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ
153
отождествляют с Aj посредством канонического изоморфизма аддитивной группы Aj на аддитивную группу Aj, являющегося также изоморфизмом кольцевых структур. Проекция prj кольца А на J есть гомоморфизм; прообраз нуля относительно этого гомоморфизма есть не что иное, как А'к, так что Aj изоморфно Al А'к, а А изоморфно произведению Aj X (AlAj). Кроме того, по определению умножения в А, имеем A1jAk = {0}- говорят, что подкольца Aj и А'к взаимно аннулируются. Отсюда следует, что каждый идеал в Aj есть также идеал в А.
Вместе с тем мы видим, что каждое произведение колец, не сводящихся к 0, содержит делители нуля, отличные от 0.
В случае, когда J — множество {і}, состоящее из одного элемента, подкольцо A'j, изоморфное A1, обозначается также А[. Если а — левый (соответственно правый) идеал в А, его проекция на A1 есть левый (соответственно правый) идеал в A1 (теорема 5); при этом:
Предложение 6. Если произведение А колец A1 обладает единицей (т. е. каждое из колец A1 обладает единицей), то идеал аПЖ изоморфен проекции а на A1; при этом в случае конечного множества индексов I а совпадает с произведением своих проекций на кольца At,.
Действительно, пусть X = (X1) — элемент из а, et — единица кольца A1, е[ — единица кольца А'; а содержит е[х, т. е. элемент, все координаты которого, за исключением координаты с индексом і, равной X1, равны нулю; а отсюда сразу следует справедливость предложения.
Без предположения, что А содержит единицу, предложение становится неверным (см. упражнение 14в).
11. Прямая композиция подколец
Пусть А = [] Ai — произведение конечного семейства под-
колец Ai; в обозначениях предыдущего п° аддитивная группа А есть прямая сумма (§ 6, п° 6) аддитивных групп Al (допуская вольность речи, это выражают, говоря, что кольцо А есть прямая
Tl П
сумма подколец А\). Ho более того, если я= J Xi и у = ^yi,.
і=1 i=i
154
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 8
где Xi б Au yi б Al, — (однозначно определенные) разложения про-
П
извольных элементов х, у кольца А, то ху— "^xiyi.
