Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
8) Правый идеал, порожденный левым идеалом кольца, является двусторонним идеалом.
9) Правый аннулятор правого идеала кольца есть двусторонний идеал.
10) Двусторонний идеал кольца А, порожденный элементами ху — ух, где X VL у пробегают А, есть наименьший из двусторонних идеалов а таких, что А/а коммутативно.
И) Пусть (Qa) — семейство двусторонних идеалов кольца А,
для которого П O0, = {0}. Показать, что А изоморфно подкольцу
а
произведения J] (AIao). а
*12) Двусторонний идеал а кольца А называется неприводимым, если не существует пары двусторонних идеалов Ь, с, отличных от Q и таких, что a = 6f|c-
а) Показать, что пересечение всех неприводимых идеалов кольца А сводится к 0. [Заметить, что множество всех двусторонних идеалов, не содержащих элемента а ф 0, индуктивно, и применить теорему Цорна.]
б) Вывести отсюда, что каждый двусторонний идеал кольца А есть пересечение всех содержащих его неприводимых идеалов. [Использовать теорему 5.]
КОЛЬЦА И КОЛЬЦА G ОПЕРАТОРАМИ
157
*13) Идеал р коммутативного кольца Л, отличный от Л, называют простым, если факторкольцо Alp есть кольцо целостности (иными словами, если отношения х ^ р, у (? р влекут ху ^ р).
а) Если А обладает единицей, то каждый максимальный идеал а в А — простой. [Заметить, что в факторкольце Ala идеал, порожденный любым ненулевым элементом, совпадает с А/а, и вывести отсюда, что каждый ненулевой элемент из А/а обратим.]
б) Каждый простой идеал неприводим (упражнение 12).
в) Если множество 5 всех простых идеалов, содержащих заданный идеал ф А, не пусто (что всегда верно, когда А обладает единицей), то оно индуктивно по отношению 3; если А обладает единицей, то 5 индуктивно по отношению С.
г) Пусть а — произвольный идеал фА и 6—множество тех xiA, у которых некоторая степень хп ? а (где п зависит от х). Показать, что Ь — идеал и что, если Ь Ф А, пересечение всех простых идеалов, содержащих а, совпадает с Ь. [Заметить, что для а$Б множество всех идеалов, содержащих а, но не содержащих никакой степени ап, индуктивно по отношению СГ, и доказать, что всякий максимальный элемент р этого множества — простой.]
14) При структуре кольца с нулевым квадратом (п° 1, пример III), определенной в заданной коммутативной группе G, идеалы кольца G совпадают с подгруппами аддитивной группы G.
а) Примем за G аддитивную группу И(р) целых чисел по простому модулю р. Показать, что в кольце G с нулевым квадратом идеал (0) — максимальный, но не простой.
°б) Примем за G подгруппу аддитивной группы Q/Z рациональных чисел по модулю 1, образованную классами (modi) рациональных чисел вида к/рп, где кип — произвольные целые -г- 0, а р — фиксированное простое число. Показать, что каждая подгруппа группы G имеет вид Gn, где Gn — множество всех классов (mod 1) чисел вида Itlpn с фиксированным п > 0 и произвольным к. Вывести отсюда, что в кольце G с нулевым квадратом не существует ни максимальных, ни простых идеалов.0
в) Приняв за G аддитивную группу Z рациональных целых чисел, привести пример идеала в произведении GXG кольца G с нулевым квадратом на самого себя, который не совпадал бы с произведением своих проекций на кольца-сомножптели.
15) Пусть А — кольцо с единицей е. Если оно является прямой суммой конечного числа своих левых идеалов Ii (1<^і<!л) и е=--
П
— S еі (еі Є Ii)' т0 ei=ei’ eiei~Q ПРИ 1 ф І и іі=Аєі- [Записать, І = 1
что х=хе для каждого х Z А.] Обратно, если et (I < і п) — п
П
ИДЄМПОТЄНТОВ таких, ЧТО Є*Єу = 0 при І Ф f И Cj, то А єсть
І=1
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I. § Ь
прямая сумма п левых идеалов Aej. Для того чтобы все эти идеалы Aei были двусторонними, необходимо и достаточно, чтобы все et принадлежали центру кольца А. !Использовать предложение 7.]
*16) Пусть е — идемпотент кольца А.
а) Показать, что А есть прямая сумма левого идеала а= At и левого аннулятора Ь элемента е. [Заметить, что, каково бы ни было х ? А, х — хе ? Ь.]
б) Каждый правый идеал b кольца А есть прямая сумма ЬГ)а (правого идеала подкольца а) и Ь И6 (правого идеала подкольца 6).
в) Если Ае=еА, то е есть единичный элемент подкольца о, Ь — двусторонний идеал кольца А и А — прямая композиция подколец п и 6; каждый левый (соответственно правый) идеал с кольца А есть прямая сумма левых (соответственно правых) идеалов с Г) о и сГ)Ь этого кольца.
*17) Пусть А — кольцо с единицей е. Если центр С кольца А есть прямая композиция подколец Ci (I і п), то А есть прямая композиции порожденных ими двусторонних идеалов Oj. [Для доказательства того, что А есть сумма идеалов Cij, воспользоваться тем,
яичный элемент подкольца Ci; чтобы убедиться в том, что эта сумма-прямая, показать, что, каково бы ни было Z^ai, Zei = Z и Zej = O для всех / Ф г].
*18) Кольцо без операторов А называют булевским кольцом, если каждый его элемент идемпотентен (иными словами, если х2—х для каждого х? А).
а) Показать, что если для любых А Cl Е, В a E положить AB = = ApjB и A -[-B= (А П CZ?)(_ (В ~| CA), то этим в множестве % (E) всех подмножеств множества E определится структура булевского кольца. Это кольцо изоморфно кольцу Ke всех отображений E в кольцо К = Z/(2) целых чисел по модулю 2. [Рассмотреть для каждого X с E его «характеристическую функцию» ср^, определяемую условиями ф^(х)=1, если х?Х, и ф^(х) = 0, если х (t А'.]
