Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
б) Каждое булевское кольцо А коммутативно и имеет характеристику 2. [Записать, что х-\-х— идемпотент, а затем, что х-\-у — идемпотент.]
в) Булевское кольцо А без делителей нуля сводится к 0 или изоморфно Z./(2). [Показать, что ху (х 1 у)=0 для любых двух элементов х и у из А.] Вывести отсюда, что в булевском кольце каждый простой идеал (упражнение 13) — максимальный.
г) Каждый идеал а булевского кольца А, отличный от А, есть пересечение содержащих его простых идеалов. [Применить упражнение 13г.] Вывести отсюда, что каждый неприводимый идеал кольца А (упражнение 12) — максимальный (тем самым для булевского кольца
71
что каждое х С А представимо в виде
где Єі — еди-
КОЛЬЦА И кОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ
159
понятия неприводимого идеала, простого идеала и максимального идеала совпадают).
д) Показать, что каждое булевское кольцо изоморфно подкольцу произведения Кь, где K = Z/(2). [Использовать г) и упражнение 11.?
е) Пусть pi (1 <; і <; п) — п различных максимальных идеалов булевского кольца А и а= р| Pi. Показать, что А/а изоморфно Kn.
[Индукцией по п, находя максимальные идеалы кольца Kn с помощью предложения 6.] Вывести отсюда, что каждое конечное булевское кольцо есть кольцо вида Kn.
ж) В булевском кольце А отношение ху = х есть отношение порядка; будем обозначать его х<у [§ 1, упражнение 15]; показать, что А—дистрибутивная решетка (Теор. мн., гл. Ill, § 1, упражнение 16), обладающая наименьшим элементом а, и что для каждой пары (х, у) ее элементов таких, что х у, существует элемент cl (х, у), для которого inf (х, <1 (х, у))— a, sup (х, d(x, у)) = у. Обратно, показать, что если дистрибутивная решетка А обладает указанными свойствами, то законы композиции ху = inf (ж, у) и ж-f-у — d( inf (ж, у), sup (х, у)) определяют в А структуру булевского кольца.
19) Кольцоидом называется множество Е, наделенное двумя внутренними законами композиции: а) всюду определенным ассоциативным умножением ху; б) аддитивно записываемым не всюду определенным законом, удовлетворяющим следующим условиям:
I0 он коммутативен (иными словами, если ж-f у определено, то определено также у-\-х, и х-\-у=у-\-х; мы будем в этом случае говорить, что х и у суммируемы);
2° если х и у суммируемы, ТО ДЛЯ ТОГО, чтобы XjTy и z были суммируемы, необходимо и достаточно, чтобы были суммируемы как х и Z1 так у и z; тогда также х и y+z суммируемы и (ж+у)+z=x-\- (у+ z);
3° существует нейтральный элемент 0;
4° если как жиг, так у и г суммируемы и a;+z=!/+z, то х=у,
5° умножение двояко дистрибутивно относительно сложения.
Каждое кольцо есть кольцоид; для того чтобы кольцоид, имеющий единичный элемент е, был кольцом, необходимо и достаточно, чтобы существовал элемент х такоіі, что х и е суммируемы и х-\-е=0.
Исследовать, как распространяются на кольцоиды определения и результаты § 8 и приведенных выше упражнений (левым идеалом кольцоида E называется множество a a E, устойчивое относительно сложения и удовлетворяющее условию Ea CZ а).
20) Пусть G — группа с операторами, а / и g— ее эпдоморфизмы. Для того чтобы отображение х -- / (х) g (х) также было ее эндоморфизмом, необходимо и достаточно, чтобы каждый элемент подгруппы / (G) был перестановочен с каждым элементом подгруппы g (G); обозначая тогда этот эндоморфизм через f-j-g, а композицию х / (g(x)) эндоморфизмов g и / через fg, показать, что множество E всех эндомор-
160
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ I, § 9
физмов группы с операторами G, наделенное этими двумя законами композиции, есть кольцоид с единицей (упражнение 19); для того чтобы E было кольцом, необходимо и достаточно, чтобы группа G была коммутативна.
Для того чтобы элемент / ? E был суммируемым со всеми элементами из Е, необходимо и достаточно, чтобы / (G) содержалось в центре группы G; множество N всех таких эндоморфизмов есть кольцо, называемое ядром кольцоида Е.
Эндоморфизм / группы с операторами G называется нормальным, если он перестановочен со всеми ее внутренними автоморфизмами; какова бы ни была устойчивая нормальная подгруппа H группы G, тогда и / (H) будет устойчивой нормальной подгруппой этой группы. Показать, что множество D всех нормальных эндоморфизмов группы с операторами G образует подкольцоид кольцоида Е, а ядро N есть двусторонний идеал кольцоида D.
§ 9. Тела
1. Тела и тела с операторами
Определение 1. Телом называется кольцо К, множество ненулевых элементов которого образует группу относительно закона, индуцированного заданным на К умножением.
Кольцо с операторами К, обладающее этим свойством, называется телом с операторами. Так же как и для колец, мы в случае отсутствия опасности путаницы вместо «тело с операторами» будем говорить просто «тело».
Множество ненулевых элементов тела К будет обычно обозначаться К*', наделенное групповой структурой, определяемой в нем заданным на К умножением, оно называется мультипликативной группой тела К. Будучи по самому определению группой, К* не пусто; его нейтральный элемент е является единичным элементом тела К\ так как он ф 0, то тело содержит по крайней мере два элемента.