Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Определение 10. Кольцо А называется прямой композицией конечного семейства (.Bi) і своих подколец, если А есть прямая
сумма подколец Bi и тождественно
П П Tl
(2 *і) (2 Уі) = 2 хіУі (хі є Bv Уі є вд-
і= 1 і— 1 і= 1
Тем самым кольцо А, являющееся прямой композицией своих подколец, изоморфно их произведению.
He следует смешивать попятия прямой суммы и прямой композиции подколец: кольцо вполпе может быть прямой суммой своих подколец (и даже правых или левых идеалов), не будучи их прямой композицией; мы встретимся с примерами этого в главе II.
Предложение 7. Пусть кольцо А есть прямая сумма конечного семейства (Bi)I^is5n своих подколец. Следующие утверждения равносильны:
а) А есть прямая композиция подколец Bi;
б) Bi являются двусторонними идеалами кольца А;
в) Bi взаимно аннулируются.
Действительно, а) влечет б), поскольку А изоморфно f] Bi;
б) влечет в), ибо если Bi — двусторонние идеалы, то BiBj CZ BiRBj = {0} при і ф /;
наконец, в) влечет а) в силу дистрибутивностн умножения и определения 10.
Пример. Рассмотрим подкольцо А факторкольца Z/(6), образованное классами чисел 0 и 3 (mod 6), п подкольцо В, образованное классами чисел 0, 2 и 4 (mod С); А изоморфно Z/(2), а В изоморфно Z/(3); Z/(6) есть прямая сумма подколец А и В, ибо 1 = 3 — 2 и сравнения u = v (6), и = 0 (2) и V ее 0 (3) могут одновременно выполняться лишь если u = v 0 (6); наконец, очевидно AaB взаимно аннулируются; таким образом, Z/(G) есть прямая композиция своих подколец А ш В я, следовательно, изоморфио произведению (Z/(2))X X (Z/(3)) (см. главу VII).
Если кольцо А есть прямая композиция своих подколец Bi, то, вследствие изоморфизма прямой композиции произведению,
Il
КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ
155
центр С кольца А есть прямая композиция центров Ci подколец Bi и Ci = C^Bi (§ 4, п° 5). Предложение 8. Если кольцо А есть прямая композиция своих подколец Bi (1 <г<и), а; —двусторонний идеал в Bi
Tl
и а = 2 аі> 1710 Факторкольцо Ala изоморфно произведению фак-1=1 торколец BiIai. Это — непосредственное следствие предложения 4 § 4.
Упражнения. 1) Определить все кольцевые структуры в множестве, состоящем из п элементов, где 2 п <; 5, а также идеалы этих колец.
2) Показать, что кольцо эндоморфизмов коммутативной группы, являющейся произведением двух циклических групп второго порядка, некоммутативно и обладает делителями нуля, отличными от 0.
3) Пусть А — кольцо (без операторов) и на множестве ZxA следующим образом определены сложение и умножение:
(т, х)Аг(п, у) = (m-srn, х-\~у),
(т, х)(п, у) = (тп, ту-\-пх-\-ху).
Показать, что эти законы определяют в ZXA структуру кольца с единицей и что А изоморфно двустороннему идеалу этого кольца.
4) Пусть А — кольцо, не сводящееся к 0 и имеющее единицу е. Если для некоторого элемента a (f А существует, и притом единственный элемент а' Є А такой, что аа' = е, то а обратим и а' обратен а. [Показать сначала, что а не есть левый делитель нуля, а затем рассмотреть произведение аа'а.]
*5) Пусть А — кольцо без делителей нуля, имеющее единицу е. Предположим, что на А задан всюду определенный внутренний закон T такой, что порожденный нм правый внешний закон дистрибутивен относительно сложения, а левый — относительно умножения.
а) Показать, что если А не есть кольцо характеристики 2, то жТ у — 0 для всех х и у из А. [Использовать упражнение 4 § 5.] *).
б) Если Л имеет характеристику 2, ажТ у — 0 не для всякой пары (х, у) элементов из А, то множество G тех и Є А, для которых и T е = 0, есть подгруппа индекса 2 аддитивной группы А и закон T опре-
*) В главе IV будет приведен пример кольца целостности с любой характеристикой, один из законов T на котором таков, что порожденный им правый внешний закон дистрибутивен одновременно относительно сложения и умножения, а х T у равно нулю лишь если ж = 0 или у = 0.
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 8
деляется знанием всех композиций а Tx, где а — (произвольный)
фиксированный элемент $ G. Обратно, задание подгруппы G индекса 2 аддитивной группы А и отображении JA в себя такого, что f'(xy) = = / (х) / (у), определяет закон T , обладающий указанными свойствами
6) Пусть А — кольцо с операторами, В — произвольное множество его элементов и В' — порожденное им в А множество, устойчивое относительно заданных на А внешних законов.
а) Пусть Bn = B co — порожденное В' множество, устойчивое относительно умножения. Тогда подкольцо, порожденное множеством В, совпадает с подгруппой аддитивной группы А, порожденной множеством В".
б) Левый идеал, порожденный множеством В, совпадает с подгруппой аддитивной группы, порожденной множеством B1ArAB', а двусторонний идеал, порожденный множеством В, — с подгруппой аддитивной группы, порожденной множеством В'-\-АВ'-\-В'А-\-АВ'А.
*7) Пусть А — кольцо (без операторов), не содержащее делителей нуля и такое, что каждаи его аддитивная подгруппа является левым идеалом. Показать, что А изоморфно подкольцу кольца Z или факторкольцу вида Z/(/>), где р — простое. [Выразив, что аддитивная группа, порожденная элементом а Ф 0, является левым идеалом, показать, что этим определяется изоморфизм А в Z или в фактор-кольцо кольца Z.]
