Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Замечание. Теорема 2 уже не всегда будет верна, если не предполагать, что А обладает едипицей (см. упражнение 146).
8. Гомоморфизмы колец
Общие определения § 4 (п° 4) позволяют определить представление кольца А в множество А', наделенное структурой, гомологичной структуре, заданной в А (§ 4, n° 1); это означает здесь, что заданная в А' структура определяется, с одной стороны, двумя внутренними законами, сопоставляемыми соответственно задан-
8
КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ
149
ными на А сложению и умножению, и, с другой стороны, внешними законами, взаимно однозначно сопоставляемыми внешним законам кольца А так, что соответственные законы имеют одну и ту же область операторов. В этих условиях (при одинаковом обозначении соответственных законов) введем
Определение 8. Отображение } кольца А в множество А', наделенное гомологичной структурой, называется представлением (или гомоморфизмом) А в А', если, каковы бы ни были элементы х?А, у G А и оператор а кольца А, композиции /(х) jTfiy), / (х) / {у) и а/ (х) определены, причем / (х + у) = / (х) + / (у), / (ху) = = f(x)f(y), f (ax) = af(x).
Каноническое отображение кольца А на его факторкольцо есть гомоморфизм, называемый каноническим.
В соединении с доказанной выше теоремой 1 теорема о гомоморфизмах (§4, теорема 1) дает для колец следующий результат:
Теорема 3. Пусть / — представление кольца А в множество Ar, наделенное гомологичной структурой. Тогда f(A) — кольцо (при индуцированной из А' структуре), в котором /(0) есть нейтральный элемент относительно сложения (также обозначаемый 0). -і
Прообраз а = / (0) этого нейтрального элемента есть двусторонний идеал кольца А; кольцо /(А) изоморфно факторкольцу А/а, а представление / есть композиция канонического гомоморфизма А на А /а и инъективного гомоморфизма Ala в А'.
Пример. Пусть А — кольцо без операторов, не сводящееся к 0 и обладающее единицей е; отображение п —>¦ пс есть представление кольца Z в А; следовательно, подкольцо кольца А, образованное элементами пе, изоморфно факторкольцу Z/(q), где q — некоторое целое >-0; q называется характеристикой кольца А (см. главу V, § 1); если q > 0, то его можно определить как наименьшее из целых чисел т > 0 таких, что тх = 0 для каждого х ? А. В частности, кольцо Z/(п) имеет характеристику п.
Предложение 5. Если а — обратимый элемент кольца А, то отображение х —> ахаГ1 есть автоморфизм этого кольца.
Действительно, а (х-\- у) а"1 = аха~г -Jr ауа'1, а(ху)а~г = = (аха~х) (ауа-1), и для каждого оператора а кольца А, в силу (7),
150
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
ГЛ. I, § 8
а(ах) а'1 = а (аха"1); с другой стороны, так как отношение у = = Cixcr1 равносильно отношению х = а~хуа, то х—^axax есть взаимно однозначное отображение А на себя. Его называют внутренним автоморфизмом кольца А.
9. Подкольца и идеалы факторкольца
Теорема 4. Пусть f — канонический гомоморфизм кольца А
на его факторкольцо A' = Ala по двустороннему идеалу а.
-і
а) Прообраз B = j (В') подкольца В' кольца А' есть подкольцо кольца А, содержащее а; при этом B' = f (В) и кольцо В' изоморфно факторкольцу В/а.
б) Отношение B = f(B') устанавливает взаимно однозначное соответствие между подколщами кольца А' и подкольцами кольца А, содержащими а.
в) Каково бы ни было подкольцо В кольца А, В + а есть подкольцо кольца A, af (В) — подкольцо кольца А', изоморфное фактор-кольцам BI(BQja) и (В + а)/а.
Непосредственная проверка показывает, что если В' — под-
-1
кольцо кольца А', то B = f (В') есть подкольцо кольца А и содержит а; так как / отображает А на Af, то оно отображает В на В', и значит, согласно теореме 3, В' изоморфно В/а; тем самым а) доказано.
Обратно, если В — подкольцо кольца А, содержащее а, то В
насыщено по сравнению mod а, значит, для B'=f(B) имеем -1
B = f(B'), чем доказано б).
Установим, наконец, справедливость утверждения в). Каково бы ни было подкольцо В кольца А, сужение / на В есть представление В в А', причем прообразом нуля относительно этого представления является BQa; следовательно, согласно теореме
3, / (В) изоморфно BI(BQa). Множество В-\- а получается путем насыщения В по отношению х = у(а); согласно второй теореме об изоморфизме (§ 4. теорема 3), оно устойчиво относительно умножения и внешних законов кольца А и, будучи подгруппой аддитивной группы А, является подкольцом кольца А; вторая теорема об изоморфизме показывает тогда, что (5 + а)/а изоморфно BI(BQa).
9
КОЛЬЦА И КОЛЬЦА С ОПЕРАТОРАМИ
151
Теорема 5. Пусть f — канонический гомоморфизм кольца А
на его факторколъцо A1==AIa по двустороннему идеалу а.
-і
а) ПрообразЬ = і(Ь') левого (соответственно правого) идеала 6'
кольца А’ есть левый (соответственно правый) идеал кольца А,
содержащий а, причем 6' = /(Б).
-і
б) Отношение Ь = /(Б') устанавливает взаимно однозначное соответствие между левыми (соответственно правыми) идеалами кольца А' и левыми (соответственно правыми) идеалами кольца А, содержащими а. Для любых двух левых (соответственно правых) идеалов 6' и с' кольца А' имеем
