Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ II II IIi
491
мз грассмановского исчисления, равно как и принятому в настоящем трактате; в своих лекциях Кронекер, не ощущая нужды в наименовании и в форме еще не внутренней, вводит тензорное произведение пространств и «кронекеровское» произведение матриц (линейную подстановку, индуцированную в тензорном произведении заданными линейными подстановками в его сомножителях).
Эти изыскания не следовало бы также отделять от теории инвариантов, созданной Кэли, Эрмитом и Сильвестром («инвариантивистской троицей», как говорил позже в своих письмах Эрмит) и являющейся с современной точки зрения прежде всего теорией представлений линейной группы. Здесь появляется, в качестве алгебраического эквивалента двойственности в проективной геометрии, различение между сериями когредиентных и контрагредиентных переменных, т. е. между векторами пространства и векторами сопряженного пространства; и тогда как раньше внимание обращалось в первую очередь на формы низких, а затем и произвольных степеней от двух и трех переменных, теперь не мешкая переходят к рассмотрению билинейных форм, а затем и полилинейных форм от нескольких серий «когредиентных» или «контрагредиентных» переменных, что равносильно введению тензоров; это осознается и становится общим достоянием, когда в 1900 г. под влиянием теории инвариантов Риччи и Леви-Чивита вводят в дифференциальную геометрию «тензорное исчисление» (XXVIII), приобретшее позже большую известность благодари его использованию физиками-«релятивистами». Уже прогрессирующее взаимопроникновение теории инвариантов, дифференциальной геометрии и теории уравнений с частными производными (особенно так называемой проблемы Пфаффа а ее обобщений) постепенно приводит геометров сначала к рассмотрению знакопеременных билинейных дифференциальных форм, в частности «билинейного коварианта» формы первой степени (введенного в 1870 г. Липшицем и затем изученного Фробениусом), а в завершение к созданию Э. Картаном (XXIX) и Пуанкаре (XXX) исчисления внешних дифференциальных форм. Пуанкаре вводит их, имея в виду образование интегральных инвариантов, как выражения, фигурирующие в кратных интегралах, тогда как Картан, несомненно руководствуясь своими исследованиями по алгебрам, вводит их более формальным способом, но также не упуская заметить, что алгебраическая часть его исчисления тождественна с грассмаповским внешним умножением (откуда и принятое им наименование указанных форм), и тем самым окончательно определяя истинное место творения Грассмана. Перевод внешних дифференциальных форм на язык тензорного исчисления непосредственно обнаруживает при этом их связь с антисимметрическими тензорами, что, если оставаться на чисто алгебраической точке зрения, показывает, что они так же относятся к знакопеременным полилинейным формам, как ковариантные тензоры — к произвольным полилинейным формам; эта сторона дела еще более проясняется современной теорией представлений линейной группы; ею обнаруживается, например, существенная тождественность определения определителей, данного Вейерштрассом и Кронекером, и определения, вытекающего из грассмановского исчисления.
Мы подходим так к современному периоду, когда аксиоматический метод и нонятие структуры (вначале только чувствуемое, определенное же лишь
492
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ II И III
совсем недавно) позволяют разделить понятия, до того безнадежно переплетенные, формулировать то, что было неотчетливым или неосознанным, и дока зать в присущей им общности теоремы, которые были известны лишь для частных случаев. Пеано, один из создателей аксиоматического метода и также один из первых математиков, оценивших значение творения Грассмана, дает в 1888 г. ((XXVII), гл. IX) аксиоматическое определение векторных пространств (конечной или бесконечной размерности) над полем вещественных чисел и, с вполне современным обозначением,— линейных отображений одного такого пространства в другое; несколько позже Пинкерле пытается развить применения так понимаемой линейной алгебры к теории функций, правда, в направлении, оказавшемся мало плодотворным; все же его точка зрения позволяет ему усмотреть в «лагранжевском сопряженном» частный случай сопряженного линейного отображения — то, что вскоре еще более выявляется, притом не только для обыкновенных дифференциальных уравнений, но также для уравнений в частных производных, по мере выхода памятных работ Гильберта и его школы по гильбертовым пространствам и их применениям к анализу. В связи с этими последними исследованиями Теплиц
(XXXI), тоже вводя (но посредством координат) наиболее общее векторное пространство над полем вещественных чисел, делает фундаментальное замечание, что для доказательства основных теорем линейной алгебры не нужна теория определителей, что позволяет без труда распространить их на пространства бесконечной размерности; он отмечает также, что так понимаемая линейная алгебра естественно применима при любом основном поле.
С другой стороны, с введением Банахом в 1922 г. пространств, носящих теперь его имя *), встретились, правда в проблеме столь же топологической, сколь и алгебраической, пространства, не изоморфные своему сопряженному. Уже между конечномерным векторным пространством и его сопряженным нет «канонического» изоморфизма, т. е. определяемого его структурой, что давно нашло свое отражение в различении когредиентного и контрагредиентного. Тем не меиее представляется несомненным, что различение пространства от его сопряженного окончательно утвердилось лишь после работ Банаха и его школы; в этих же работах была обнаружена важность понятия фактор-размерности. Что касается двойственности, или «ортогональности», между векторными подпространствами пространства и его сопряженного, то спо соб, которым ее формулируют ныне, представляет не только внешнюю аналогию с современной формулировкой основной теоремы теории Галуа (см. гл. V) или с понтрягинской двойственностью локально компактных коммутативных групп; последняя восходит к Веберу, который в 1886 г. в связи с ариф метическими исследованиями заложил ее основы для конечных групп; «двойственность» между подгруппами и подполнми в теории Галуа выявляется Дедекиндом и Гильбертом; а ортогональность векторных подпространств, очевидно, имеет своим источником прежде всего двойственность линейных
