Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
XIX век, более чем какой-либо другой период нашей истории, был богат первоклассными математиками, и трудно на нескольких страницах, даже только в главных чертах, описать всё, что создало их руками слияние этих идейных течений. Между чисто синтетическими методами, с одной стороны,
— этим родом Прокрустова ложа, на котором сами предавали себя пыткам их ортодоксальные адепты,— и аналитическими методами, связанными с произвольно навязанноіі пространству системой координат, скоро ощутили потребность в чем-то вроде геометрического исчисления, задуманного, но не созданного Лейбницем и в несовершенном виде намеченного Карно; сперва появляется сложение векторов, в неявной форме у Гаусса в его геометрическом представлении мнимых чисел и применении пх к элементарной геометрии (см. Исторический очерк к главе VIII «Общей топологии»), далее развитое Беллавнтисом под названием «метода эквиполленций» и принявшее свой окончательный вид у Грассмана, Мёбиуса и Гамильтона;
488
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ- II И III
одновременно Мёбиус предлагает его вариант под названием «барицентрического исчисления», приспособленный к нуждам проективной геометрии (XVIII).
К тому времени, и теми же людьми, совершается возвещенный, как мы видели, еще Ферма переход от «обычных» плоскости и пространства к пространству п измерений, столь естественный (раз уж вступили на этот путь) и даже неизбежный, поскольку алгебраические факты, которые для двух или трех переменных, как и сами эти переменные, истолковываются в геометрических терминах, остаются такими же для любого числа переменных; поэтому налагать на употребление геометрического языка ограничение двумя или тремя измерениями было бы для математиков этого времени столь же стеснительным ярмом, как и то, которое всегда мешало грекам распространить понятие числа на отношения несоизмеримых величин. Поэтому язык и идеи, относящиеся к пространству п измерений, почти одновременно появляются повсеместно, неявно у Гаусса и отчетливо у математиков следующего поколения, а их большая или меньшая смелость в пользовании этим языком, быть может, определяется не столько их математическими склонностями, сколько философскими или даже чисто практическими соображениями. Во всяком случае, Кэли и Грассман к 1846 г. обращаются с этими понятиями с весьма большой непринужденностью (ипритом, говорит Кэли в отличие отГрассмана ((XXIIa), стр. 321), те прибегая ни к каким метафизическим понятиям»)’, Кэли постоянно держится весьма близко к аналитическому истолкованию и координатам, тогда как у Грассмана уже с самого начала, со сложения векторов в n-мерном пространстве, одерживает верх геометрический аспект, что приводит его к рассмотрениям, на которых мы позже остановимся.
Тем временем импульс, полученный от Гаусса, двумя разными путями побуждал математиков к изучению алгебр и гиперкомплексных систем. С одной стороны, не могли не появиться попытки расширить область вещественных чисел иным путем, чем введением «мнимой единицы» І= Y—1. И, быть может, открыть так области, более обширные, чем область комплексных чисел, и столь же плодотворные. Сам Гаусс был убежден ((XII6), стр. 178) в невозможности такого расширения, по крайней мере если пытаться сохранить основные свойства комплексных чисел, т. е., на современном языке, те свойства, которые делают множество этих чисел коммутативным телом; и под его влиянием или независимо современники Гаусса, по-видимому, разделяли это убеждение, обоснованное лишь значительно позднее в виде точной теоремы Вейер штрассом (XXIII). Ho раз только умножение комплексных чисел интерпретируется вращениями в плоскости, желание распространить эту идею на пространство неизбежно ведет к рассмотрению некоммутативных умножений (поскольку вращения в пространстве образуют некоммутативную группу); это и является одной из идей, которыми руководствовался Гамильтон*) в своем открытии кватернионов (XX), первого примера некоммутативного тела.
*) Cm. интересное предисловие к его «Лекциям о кватернионах» (XX), где он излагает всю историю своего открытия.
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ II И III
489
Своеобразие этого примера (единственного, который — как показал позже Фробениус — можно было построить над полем вещественных чисел) несколько ограничило сферу его влияния, вопреки или, быть может, даже благодаря образованию школы фанатичных «кватернионистов» — странному явлению, повторившемуся позже вокруг творения Грассмана,— а затем популяризаторов, извлекших у Гамильтона и Грассмана то, что было названо «векторным исчислением». Отказ от ассоциативности несколько позже у Грейвса и Кэли, построивших «числа Кэли»,не открывает интересных путей. Ho после того, как Сильвестр ввел матрицы и (не давая ему наименования) явно определил ранг (XXI), тот же Кэли (XXII6) создает матричное исчисление, не преминув заметить (существенный факт, впоследствии часто упускавшийся из виду), что матрица есть просто сокращенное обозначение линейной подстановки, такое же, в сущности, как гауссовское обозначение (а, Ь, с) формы яХ2+ IbXY + сУ2. Впрочем, это было лишь одним из, несомненно наиболее интересных для нас, аспектов относящейся к определителям и всему с ними связанному обильной продукции Сильвестра и Кэли, ощетинившейся замысловатыми тождествами и внушительными вычислениями.
