Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Грассман открывает также (среди прочего) одну алгебру над полем вещественных чисел, а именно внешнюю алгебру, за которой закрепилось его имя. Его творение, даже более раннее, чем творение Гамильтона (XIXa)1 и созданное в почти полном духовном одиночестве, долгое время оставалось мало известным, несомненно вследствие своей оригинальности, а также философского тумана, окутывающего его начало и сперва оттолкнувшего, например, Мёбиуса. Побуждаемый замыслами, аналогичными имевшимся у Гамильтона, но более широкими (и, как он скоро заметил, совпадавшими с замыслами Лейбница), Грассман строит обширное алгебраико-геометрическое здание, покоящееся на геометрической, или «внутренней» (уже почти аксиоматизированной), концепции n-мерного векторного пространства; из наиболее элементарных результатов, к которым он приходит, упомянем, например, определение линейной независимости векторов, размерности и основное соотношение dim V -f- dim W = dim (V + W) + dim (V fl W7) (там же, стр. 209; см. (XIX6), стр. 21). Ho главным образом внешнее, а затем внутреннее умножение поливекторов доставляют ему средства, с помощью которых он легко справляется сначала с задачами собственно линейной алгебры, а затем относящимися к евклидовой структуре, т. е. ортогональности векторов (где он находит недостающий ему эквивалент двойственности).
Другой путь изучения гиперкомплексных систем, открытый Гауссом, имеет своим отправным пунктом целые комплексные числа a + Ы\ вполне естествен переход от них к более общим алгебрам или гиперкомплексным системам над кольцом целых чисел Z или полем рациональных чисел Q, прежде всего к тем, уже рассмотренным Гауссом, которые порождаются корнями из единицы, н далее к полнм алгебраических чисел и модулям целых алгебраических чисел. Указапные поля составляют главный предмет работ Кум-мера, а модулям целых алгебраических чисел посвящают свои исследования Дирихле, Эрмит, Кронекер, Дедекинд. В противоположность тому, что имеет место для алгебр над полем вещественных чисел, здесь не нужно отказываться
490
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК К ГЛАВАМ II И III
ни от каких характерных свойств коммутативных тел; этим и ограничиваются в течение всего XIX века. Ho линейные свойства, например разыскание базиса целых чисел поля (необходимое для общего определения дискриминанта), играют во многих вопросах существенную роль, и, во всяком случае, у Деде, кинда, методы принимают типично «гиперкомплексную» окраску; при этом сам Дедекинд, не ставя перед собой в общем виде проблему алгебр, осознает этот характер своих работ и то, что роднит их, например, с результатами Вей ер-штрасса, относящимися к гиперкомплексным системам над полем вещественных чисел ((XXIV), в частности том 2, стр. I). В то же время определение строения мультипликативной группы единиц поля алгебраических чисел, осуществленное в знаменитых сообщениях Дирихле (XV) и почти одновременно также Эрмитом, оказалось в высшей степени подходящим для прояснения представлений о модулях над Z, их системах образующих и их базисах, когда последние существуют. Затем понятие идеала, определенное Дедекиндом в полях алгебраических чисел (как модуля над кольцом целых чисел поля), в то время как эквивалентное понятие в кольцах полиномов (под наименованием «систем модулей») вводит Кронекер, дает первые примеры модулей над кольцами более общими, чем Z; и теми же авторами, а затем Гильбертом постепенно на частных случаях выкристаллизовывается понятие группы с операторами с возможностью всегда построить, исходя из такой группы, модуль над надлежаще определенным кольцом.
В то же время арифметико-алгебраическое исследование квадратичных и билинейных форм и их «приведения» (или, что то же самое, матриц и их «инвариантов») приводит к открытию общих принципов решения систем линейных уравнений, принципов, которые из-за отсутствия попятия ранга ускользнули от Якоби *). Задачу решения системы линейных уравнений с целыми коэффициентами в целых числах рассматривает и разрешает сначала в частном случае Эрмит и затем во всей общности Смит (XXV); результаты последнего вновь получает лишь в 1878 г. Фробениус, в рамках обширной программы исследований, намеченной Кронекером, в которой принимает участие также Вейерштрасс; лишь попутно, в ходе этой работы, Кронекер придает окончательный вид теоремам о линейных системах с вещественными (или комплексными) коэффициентами, излагаемым также в одном малоизвестном руководстве, с характерной для него скрупулезной аккуратностью, знаменитым автором «Алисы в стране чудес»; Кронекер же не снисходит до публикации этих результатов, оставляя это своим коллегам и ученикам; само слово «ранг» ввел лишь Фробениус. В своих лекциях в Берлинском университете Кронекер (XXVI) и Вейерштрасс вводят также «аксиоматическое» определение определителя (как знакопеременной полилинейной функции п векторов «-мерного пространства, нормированной так, чтобы для единичной матрицы она принимала значение 1); оно равносильно определению, получающемуся
*) О классификации систем п уравнений с п неизвестными, определитель которых равен нулю, он говорит ((XVIa), стр. 370): «paullo prolixum videtur negotium» (ее разъяснение ие было бы кратким).
