Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
Каждому предложению, относящемуся к векторным подпространствам векторного пространства, отвечает некоторое предложение, относящееся к проективным линейным многообразиям. Например, если P (F) есть w-мериое проективное пространство и (ei)o<i<n— базис пространства V, то каждое г-мерное линейное многообразие L CZ P (F) может быть определено системой п — г однородных линейных уравнений
Tl
2 ijaij (1 <f<n-r), (1)
i=0
связывающих однородные координаты Ii (0< i< п) точки из P(F) относительно базиса (Cj), где в левых частях уравнений стоят независимые линейные формы на F (§ 4, п° 6). В частности, проективная гиперплоскость определяется одним однородным линейным уравнением, но все коэффициенты которого равны нулю. Обратно, точки пространства P(F), удовлетворяющие произвольной системе однородных линейных уравнений относительно координат Ii, образуют в нем некоторое линейное многообразие L\ если рассматриваемая система состоит из /с< п+ї уравнений, то L будет размерности > п— к.
Пересечение любого семейства линейных многообразий пространства P (F) есть его линейное многообразие; для каждого множества А d P (F) существует наименьшее содержащее его линейное многообразие L\ оно называется линейным многообразием, порожденным множеством А, а это множество — системой образующих линейного многообразия L\ если W — векторное
-і
подпространство в F, порожденное множеством л (Л), то L = V (W).
21 H. Бурбаки
322 ПРИЛОЖЕНИЕ III К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Если LuM — два произвольных линейных многообразия в P(F) и N — линейное многообразие, порожденное их объединением HJA/, то (§3, предложение 7)
dim L + AimM = dim (Lf] М) + dim Л' (2)
в предположении, что обе части этого соотношения определены. Из (2), в частности, следует, что если dim L+ dimil/ >dim P (F), то Lf]M не пусто.
Пусть (X1), (ij\) — семейства точек векторного пространства V, имеющие ОДНО И TO же множество индексов И такие, ЧТО Ui = XlXl, где \ Ф 0 для каждого і. Если (ж J — свободное семейство, то это же верно для (Ifl), и обратно; в этом случае сеыейстио точек я (X1) пространства P (F) называют проективно свободным-(или просто свободным). То же самое можно выразить, сказав, что никакая точка л(хк) не принадлежит линейному многообразию, порожденному точками л (X1) с индексами іфх. Семейство точек пространства P (F), не являющееся проективно свободным, называется проективно зависимым, (или просто зависимым).
Для того чтобы семейству (X1) точек из V соответствонало проективно свободное семейство (я (X1)), порождающее P(V)1 необходимо и достаточно, чтобы (X1) было базисом пространства F. Значит, если P(F) га-мерно, то число элементов такого семейства равно га+1.Заметим, что задание такого семейства (л (X1)) в P (F) еще не определяет (даже с точностью до левого множителя) однородных координат заданной точки пространства P (F) относительно базиса (IZ1) в F, для которого л (у,,) = л (xt) при каждом і (см. п:; 2).
4. JIpoenmuetHoe пополнение аффинного пространства
Пусть Г — (левое) векторное пространство над телом К: рассмотрим векторное пространство Кя X F над К\ проективное пространство P (K^ х F) будет называться проективным пространством, канонически ассоциированным с векторным пространством F. Если F имеет конечную размерность п, то P (Ks X V) имеет ту же размерность п. Рассмотрим в TiTs X F аффинную гиперплоскость F1 = (I)XF. имеющую своей направляющей (Приложение II, Ii0 3) (однородную) гиперплоскость F0={0} X F: если (однородная) прямая из Ks х F не содержится в F0, то она
4 ПРИЛОЖЕНИЕ III К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 323
содержит точку (а, X) с а Ф 0 и х? \ , а значит, точку а'1(а,х)-
— (I, оГ^х) из F1; обратное очевидно. Таким образом устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками гиперплоскости F1 и (однородными) прямыми произведения Ks X V, не содержащимися в F01 поскольку каждая из этих прямых пересекает F1 в одной її только одной точке. Отсюда следует, что отображение х—¦> ф(г)=я(1,ж) есть (называемая канонической) инъекция векторного пространства F в проективное пространство F (Ks X F); V часто отождествляют с его образом при этой инъекции. Дополнением к (p( F) в P (Ks X V) служит проективная гиперплоскость P(F0); ее называют бесконечно удаленной гиперплоскостьк* пространства P (iTs X F) (или, допуская вольность речи, пространства F), а точки этой гиперплоскости — «бесконечно удаленными точками» пространства P (K,s X F) (или F). Если (at) — базік пространства F и в Ks X F выбран базис, образованный всеми элементами: et = (0,а) и элементом еа~= (1,0), то бесконечно удаленные точки пространства P (Ks X F) — это точки, однородные коордипаты которых с индексом со равны 0.
Пусть М — аффинное линейное многообразие в F (Приложение II, п° 3) и D — его направляющая; канонический образ Ф (M) многообразия M в P (Ks х Г) содержится в каноническом образе Л/ = я (Л/2) векторного подпространства M2, порожденного в Ks X V его аффинным линейным многообразием .M1=(I) X Л/. Іїолее точпо, если (aj — аффинно свободная система точек из M, порождающая М, то элементы (i. O1) образуют базис подпространства M2, и следовательно, M есть не что иное, как проективное линейное многообразие, порожденное множеством ф (M); если M конечномерно, то M имеет ту же размерность, что и М. Дополнение к ф (M) в M есть пересечение многообразия M с бесконечно удаленной гиперплоскостью и равно каноническому образу я (M0) подпространства 7!/0 = {0} х/?¦
