Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Бурбаки Н. -> "Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра " -> 128

Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.

Бурбаки Н. Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра — М.: Физ-мат литературы, 1962. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): algebraicheskiestrukturi1962.djvu
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 201 >> Следующая


Композиция двух биективных проективных отображений есть проективное отображение; то же верно и для отображения, обратного к такой биекции. Таким образом, взаимно однозначные проективные отображения проективного пространства P(F) на себя образуют группу; она называется проективной группой пространства P(F) и обозначается PGL(F); вместо PGL (К™) гшшут PGLn (К).

Замечание. Пусть H = P (W) — гиперплоскость проективного пространства P(V) над телом К. Существует взаимно однозначное линейное отображение / пространства V на Ks X W .такое, что / (W)=W\ пусть g — проективное отображение, получающееся из / при факторизации. Как мы видели (п° 4), дополнение к P (W) в P (ArsXF) отождест-вимо с аффинным пространством, пространством переносов которого служит W. Отождествляя P (V) с P (K6 X W) посредством отображе HHHg, говорят, что H принимается с P(V) за бесконечно удаленную гиперплоскость; дополнение к H в P(F) отождествляется тогда с, аффинным пространством, имеющим W своим пространством переносок.
7 ПРИЛОЖЕНИЕ III К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 327

7. Структура проективного пространства

Структура (левого) проективного пространства в множестве E относительно тела К определяется заданием непустого множества Ф биекций подмножеств проективного пространства P на E, удовлетворяющего следующим аксиомам:

(EPj) Областью определения каждого отображения /? Ф служит некоторое линейное многообразие из P (К[Е)).

(EPn) Для любой пары элементов {, g из Ф, определенных соответственно на линейных многообразиях P(F) и P(TF), биекция h—g~1of пространства P(F) на P (W) есть проективное отображение.

(ЕРщ) Обратно, если /6Ф определено на линейном многообразии P(K) и h — взаимно однозначное проективное отображение P (F) на линейное многообразие P (IF) CZ P (К[Е^), то f°h 1^Q).

Пусть E — множество, (Vx)xpL — семейство векторных пространств над телом К и для каждого задана биекция Д

пространства P (Vx) на E такая, что /?1% для каждой пары индексов (X, Ji) есть проективное отображение P(Ftt) на P (Fjt). Тогда можно определить в E структуру проективного пространства относительно К следующим образом. Пусть (et)l?/ — базис пространства \\ ы O1 = Д(я(е\)), a — элемент с индексом at и каноническом базисе пространства (§ I, п° 8). В силу предположенной биективности отображения Д, Ъ1 Ф by, при і ф и; поэтому образуют базис векторного подпространства W0 пространства К[Е\ и следовательно, существует взаимно однозначное отображение h пространства P(TF0) на P (Fjl) такое, что h (л; (^l)) = = n(et) для каждого ig /. Легко проверить, что множество Ф всех отображений До hо g~l, где g пробегает множество всевозможных взаимно однозначных проективных отображений P (W0) на линейные многообразия P (W) CZ P (КІЕ^), удовлетворяет аксиомам (EP1)1 (EPn) 11 (ЕРщ). При этом, очевидно, Ф не зависит ни от выбора индекса Х?Ь, ни от выбора базиса (et) в Vx, ни от выбора h.

В частности (если взять L, сводящееся к одному элементу), каждое проективное пространство P(F), порожденное каким-нибудь векторным пространством F (определение 1), наделено так вполне определенной «структурой проективного простран-
328 ПРИЛОЖЕНИЕ III К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

ства» в смысле определения, данного в этом п°. Поэтому проективным пространством можно называть всякое множество, наделенное структурой проективного пространства.

В тех же обозначениях линейное многообразие в проективном



пространстве E — это множество M CZ Е, для которого / (M) хотя бы для одной биекции /?Ф, определенной на P(F)CZP(^sej), есть линейное многообразно в P(F) в смысле и° 3 (этим свойством обладает тогда каждое /?Ф). Из предыдущего следует, что каждое линейное многообразие проективного пространства канонически наделено структурой проективного пространства.

Говорят, что проективное пространство E имеет размерность -1

п, если f (E) для каждого /?Ф есть линейное многообразие размерности п (достаточно, чтобы это имело место для одного из отображений /?Ф).

Упражнения. 1) Пусть К — конечное тело, состоящее

из q элементов, и V — /г-мерное векторное пространство над К.

а) Показать, что число элементов множества всевозможных последовательностей (а?,, х.2, ..., хш) из т^Сп векторов пространства T7, образующих свободную систему, равно

(f-l)if-Q) ••• (Qn-Qm'1)-

[Индукцией по т.\

б) Вывести из а), что число от-мерных линейных многообразий в n-мерном проективном пространстве над К равно

(f*1— I) (<?" + l — q) ... (qn"l — nm)

Vui-IHs'"1'1-*?) ... (¦?'"’l— f ) '

2) а) Показать, что проективная группа PGL (Г) изоморфна факторгруппе линейной группы GL(V) векторного пространства V по центру этой группы (изоморфному мультипликативной группе центра тела К. см. § 2, следствие 2 предложения 5).

б) Вывести из а), что если V — конечной размерпости >2, то і оммутант группы PGL(F) простой. [Cm. § 6, упражнение 10.]

°в) Показать, что если К — конечное тело, состоящее пз q элементов, то проективная группа п-мериого проективного пространства над К есть группа порядка
Предыдущая << 1 .. 122 123 124 125 126 127 < 128 > 129 130 131 132 133 134 .. 201 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed