Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
ієі і?1
Действительно, утверждение, что семейство векторов (а1 — аУ1) из Т, где х—заданный индекс из /, а і пробегает множество всех индексов і ФУ., линейно зависимое, означает, что существует семейство скаляров (Xl)l^x, не равных все нулю, такое, что
2 X1 (at — ак) = 0; но, положив Xj4= •—2 можно переписать
I фХ I фк
ЭТО соотношение В виде = гДе =
Предложение 5. Для того чтобы непустое семейство (et)ig7 точек аффинного пространства E было аффинно свободным, необходимо и достаточно, чтобы ак ни при каком индексе х ? / не принадлежало линейному многообразию, порожденному точками а,, с индексами і Ф х.
Предложение очевидно, если I состоит только из одного элемента. В противном же случае оно вытекает из предложения 1 § 3, если принять в E за начало одну из точек с индексом і Ф х.
4 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ II. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 313
4. Аффинные отображения
Определение 3. Пусть E и E' — аффинные пространства, ассоциированные с векторными пространствами TuT' над одним и тем же телом К. Отображение и. пространства EeE' называется аффинным отображением (или аффинным линейным отображением), если, каковы бы ни были семейство (X1)1^ точек из E
и семейство (K)i?i скаляров, для которого ЗА* = !,
і V
U (2 Va) = S (X1). (3)
Предложение 6. Для каждого аффинного отображения и аффинного пространства EeE' существует однозначно определенное линейное отображение v векторного пространства T в T' такое, что
u(x+t) = u(x) + v (t),
каковы бы ни были х?Е, t?T.
Действительно, пусть а — произвольная точка из Е. Отображение
t —> и (a +t) — и (а) есть линейное отображение Г в Г, ибо, обозначая его через V11 и принимая во внимание, что
a -J- Xt ~ % (а t) -j~ (’1 — а) а,
a -j- ^ t (a -f- s) —(а 4“ t) — а,
получаем из (3), что va (Xt) = Xva (t) и va (s +1) = va (s) + va(t). При этом, какова бы ни была другая точка b?E, имеем Va = vb; действительно, из равенства (a-\~t) — a+ b= b-{- t следует, что и (a + ?) — и (а) + и (Ъ) = и (b -i- ?),
т. е. и (a -f t) — и (а) = и (fr-j-1) — и (Ь). Этим существование v доказано; единственность очевидна.
V называется линейным отображением T в T', ассоциированным с и. Обратно, легко видеть, что для каждого линейного отображения V векторного пространства T в T' и каждой пары точек а?Е, a' ?Е'
х — -*а' + V (х — а)
314 ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ II. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
есть аффинное отображение E в E', имеющее v ассоциированным линейным отображением. Таким образом, утверждение, что и есть аффинное отображение E в E', означает также, что если принять в ? за начало произвольную точку а, а в E' — точку и (а), то и будет линейным отображением первого из получающихся так векторных пространств во второе.
Пусть Е" — третье аффинное пространство, Т" — его пространство переносов, и — аффинное отображение E' в Е" и у' — линейное отображение T' в Т", ассоциированное с г/'. Очевидно, и'ои есть аффинное отображение E в Eпри этом, так как для любых а ? E и 16 T
и' (и (а + <)) = и' (и (а) + v (<)) = и' (и (а)) -і- v (v (<)),
то v'°v есть линейное отображение T в Т", ассоциированное с и'°и. Для того чтобы аффинное отображение и было биективным, необходимо и достаточно, чтобы таким было ассоциированное линейное отображение v\ и и1 есть тогда аффинное отображение, имеющее ассоциированным линейным отображением v~l.
В частности, аффинные биекции аффинного пространства E на себя образуют группу G, называемую аффинной группой пространства Е. Отображение, относящее каждому и линейное отображение и, ассоциированное с и, есть, согласно предыдущему, гомоморфизм группы G на линейную группу GL (T). Если и — перенос, то у — тождество, и обратно. Таким образом, ядром указанного гомоморфизма служит группа T переносов пространства Е, являющаяся, следовательно, нормальной подгруппой группы G.
Если u?G, то автоморфизм t—>utu~l группы T есть не что иное, как линейное отображение v, ассоциированное с и. Действительно, для всех х? E и T имеем
х -f utu'1 = и (и'1 (х) 1) = и (и~1 (х)) + v(t) — x + v (t),
так что UtU1 = V (t).
Пусть а^Е и Ga — подгруппа группы G, образованная теми u^G, для которых и(а) = а. Если отождествить E с Т, приняв а за начало, то Ga совпадает с GL (T). Каждое U^G однозначно представляется в виде U=I1U1 (соответственно в виде u=u2t2), где U1, U2 принадлежат Ga, a I1, t2 принадлежат Т; действительно, положив tt = u (а)—а, будем иметь UmH1^Ga, чем доказано существо-
4
ПРИЛОЖЕНИЕ II К ГЛАВЕ II. АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
315
вание U1 и Z1; аналогичным способом получим существование ма и Z2. Единственность же вытекает из того, что Ga f] T сводится к нейтральному элементу группы G. Так как при этом
Z1H1= H1(Mj1Z1M1), го M2=M1, a Z2=Mj1Z1M1. Наконец, так как линейные отображения, ассоциированные с и и U1, совпадают, то, если отождествить, как выше, Ga с GL (T), U1 будет линейным отображением T в себя, ассоциированным с и.
Пусть E и E' — аффинные пространства над К. Образ (соответственно прообраз) линейного многообразия из E (соответственно E') относительно аффинного отображения и пространства E в E' есть линейное многообразие в E' (соответственно Е); ранг и есть, по определению, размерность м (E) (если она определена); он равен рангу линейного отображения, ассоциированного с и. Для любых двух линейных многообразий F и V' одинаковой (коночной) размерности т, принадлежащих соответственно EwE'. существует аффинное отображение и пространства E в E' такое, что M(F) = F': это непосредственно вытекает из следствия 2 предложения 3 § 2, если принять за начало в E w E' соответственно точки из F и F' и, далее, взять в E (соответственно E') базис, первые т векторов которого образуют базис в F (соответственно F').
