Алгебра. Том 1. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра - Бурбаки Н.
Скачать (прямая ссылка):
(5П+1_?) _ (9Я+1_,у«-1) дП'
[Использовать а) и упражнение 1а, а также то, что К необходимо коммутативно (см. гл. V, § 11, упражнение 14, и гл. III).]э
3) Проективным репером в /г-мерном проективном пространстве P(K) над телом К называется множество S из л-f 2 точек, каждые и-f 1
ПРИЛОЖЕНИЕ III К ГЛАВЕ И. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 329
из которых'образуют проективно свободную систему. Показать, что для любых двух проективных реперов S=(ai
пространства P(V) существует преобразование /^PGL(V) такое, что /(a,) = Bi для всех і (0 -С i f":_ п \ 1). Для единственности этого преобразования необходимо и достаточно, чтобы К было коммутативно. [Свести к случаю S' =S и заметить, что всегда можно считать Oi=-T (6|), где (bj)t<—базис пространства V, a b0= ...
Привести прпмер, где К есть тело кватернионов (§ 7, п° 8) или где существуют бесконечное множество T точек из P (Г), любые И+1 из которых образуют проективно свободную систему, и нетождественное преобразование /^PGL(F), оставляющее инвариантной каждую точку из Т.
4) Пусть V — двумерное векторное пространство над телом К п а, Ь, с, d — четыре различные точки проективной прямой P(F). Двойным отношением четверки (а, Ь, с, d) называют множество
^ j тех элементов I ? К, для которых в F существуют векторы U, V
такие, что a = JT (к), & = я(и), c—ti(u-\-v), d= я (и+ ^v). Это определение непосредственно распространяется на каждую четверку различных точек множества, наделенного структурой проективной прямой (п° 7).
женных к некоторому элементу ф1 мультипликативной группы Ar*, и что, обратно, для любых трех различных точек а, Ъ, с из P(K) и множества Q всех элементов, сопряженных К какому-нибудь элементу =S= 1
ственности d необходимо и достаточно, чтобы Q сводилось к одному элементу.
б) Показать, что
• _1
(где Q1 (соответственно 1—о) означает множество всевозможных сопряжеипых XI-1A,'1= (AgA-1)'1 (соответственно всевозможных I — AgX'1 = А(1 — 1)А_1) для элементов ? из q).
в) Пусть (а, Ь, с, d) и (а', с', d') — две четверки различных
точек из P (F). Для того чтобы существовало биективное полулинейное (Приложение I) отображение F на себя такое, что порождаемое им при факторизации биективыое отображение / пространства P (F)
а) Показать, что
есть множество всех элементов, сопря-
из К*, существует точка d? P(F) такая, что =6- Для един-
ПРИЛОЖЕНИЕ III К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
на себя удовлетворяет условиям /(a) = a', f(b) = b', /(с)== с',
j(d)=d', необходимо и достаточно, чтобы существовал автоморфизм о тела К, для которого
Г a' b' j Г а Ь I о
Irf' с' j ” U с J '
Для существования в проективной группе PGL(F) преобразования /, удовлетворяющего указанным условиям, необходимо и достаточно, чтобы
5) Пусть I1(V) - (левое) проективное пространство конечной размерности п над телом К. Показать, что в множестве всех проективных гиперплоскостей пространства P(F) существует структура (правого) проективного пространства размерности п над К, канонически изоморфная структуре проективного пространства P(F*) (где V* — векторное пространство, сопряженное к V). Получить отсюда структуру проективного пространства размерности п — г— 1 в множестве всех проективных гиперплоскостей, содержащих заданное линейное многообразие M размерности г< п пространства P(F). В частности, если M имеет размерность п — 2, можно определить двойное отношение Г H U 1
гг1 т,г четверки (H1, H2, Hj, Hi) различных гиперплоскостей,
I H 4 Jtl з J
содержащих М. Показать, что если DcP (F) — прямая, не пересекающая М, и а4 — пересечение D с Hi (1 ^г<4), то
Г U1 O2 j __ I Hi Н„ j
I й3 J [ H4 H3 J
°6) Пусть К — поле, К — проективное поле, полученное путем присоединения к К бесконечно удаленной точки (п° 5), и /, g — две рациональные дроби из K(X). Показать, что если h(X)=f(g(X)), a J, 'g и Л—канонические продолжения /, g и h на К, то h = fog.c
7) Пусть а, Ъ, с, d — четыре точки проективной плоскости P (F) аад телом К характеристики ф 2, образующие проективный репер (упражнение 3), е, f. g — точки пересечения прямых Ваь и Dtd, Dai и Dijdi Dad и Dbc (ГДе Dxu означает прямую, проходящую через различные точки х, у) и Ii—точка пересечения прямых Dbc и De/. Показать, что ^ д ={ — !}• [«Теорема о полном четырехстороннике»;
свести к случаю, когда Dad—бесконечно удаленная прямая аффинной плоскости.] Каков соответствующий результат в случае тела К характеристики 2?
8) Пусть D и D'—две различные прямые проективной плоскосте P(F) над телом К, содержащим не менее трех элементов. Для того чтобы для любых трех различных точек а, Ь, с прямой D и любых
ПРИЛОЖЕНИЕ III К ГЛАВЕ II. ПРОЕКТИВНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
331
¦грех’различных точек а , b', с' прямой D' точки пересечения г, q, р прямыхDah. и Dba,, Dac, и Dca., Dbc, и Dcb. лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы К было коммутативно. [«Теорема Паппа»; свести к случаю, когда д и г находятся на бесконечно удаленной прямой аффинной плоскости.] Применить эту теорему к проективному пространству прямых^ пространства P(F) (упражнение 5i.
